高一数学综合练习题　 姓名 　　　　　　

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

1．若＝a，则cos 20°的值是（　 ）A．－a B．a　　 C． D．

2．已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm²，则扇形的中心角的弧度数是（　 ）
　　A．1　　　　　　　 B．1或4　　　　　 C．4　　　　　　　 D．2或4

3．角的终边上一点 P(－6a，－8a)(a＞0),则的值是（　 ）
　　A．　　　　　B．　　　　　　C．或　　　 D．或

4．设，，，则有（　 ）
　　A．c＜a＜b　　　　 B．b＜c＜a　　　　 C．a＜b＜c　　　　 D．b＜a＜c

5．已知与反向，且，则点P分所成的比为（　 ）
　　A．　　　　　　B．　　　　　　　C．　　　　　　　D．2

6．  给出下列三组向量：①e₁＝(－1，2)，e₂＝(5，7)； ②e₁＝(3，5)，e₂＝(6，10)； ③e₁＝(2，－3)，e₂＝(，)．　　其中有一组能作为表示它们所在平面内所有向量的基底，正确的判断是（　 ）A．①B．①③ C．②③　D．①②③

7．　对于函数，下列判断正确的是（　 ）A．周期为的奇函数B．周期为的奇函数 C．周期为的偶函数D．周期为的偶函数

8．　已知＝(0，1)、＝(0，3)，把向量 绕点A逆时针旋转90°得到向量，则向量等于（　 ）A．(－2，1) B．(－2，0) C．(3，4) D．(3，1)

9．　在△ABC中，tan A·tan B＞1，则△ABC的形状为（　 ）
　 A．锐角三角形　　B．钝角三角形　　C．直角三角形　　　 D．不能确定

10．　　　　  已知△ABC中，b＝30，c＝15，C＝29°，则此三角形解的情况是（　 ）
　　A．一解　　　　 B．两解　　　　　C．无解　　　　　D．无法确定

11．　　　　  把函数y＝sin2x的图象按向量(，0)平移，所得新图象对应的函数为
　　A． B．y＝sin2x　C． D．y＝cos2x、

12．　　　　  在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积为1，小正方形的面积为，则的值为（　 ）
　　A．　　　 B．
　　C．　　　　 D．

二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．

13．在△ABC中，a∶b∶c＝2∶3∶4，则B＝_______________．

14．若f (x)是偶函数，当x＞0时，f (x)＝x²－xcos x，则当x＜0时，f (x)＝_______________．

15．＝_________________．

16．请你仔细观察以下两式：(1)；
　　(2)．

并从中发现规律，抽象出一个一般性的结论：　　　　　　　　　　　 ．

三．解答题：本大题共6小题，满分74分．

 17．(12分)设两个非零向量e₁和e₂不共线.
(1)如果＝e₁＋e₂，＝2e₁＋8e₂，＝3e₁－3e₂，求证：A、B、D三点共线；(2)若 e₁ ＝2， e₂ ＝3，e₁与e₂的夹角为60°，me₁＋e₂与e₁－e₂垂直，求实数m的值.

18(12分)已知，，，求的值.

19(12分)已知函数 (其中A、B、是常数，且A＞0，＞0)的部分图象如图．　(1)求函数f (x)的表达式；　(2)写出函数f (x)的单调区间； (3)指出函数f (x)的图象可以由正弦函数y＝sin x的图象如何变换得到．

20(12分)已知△ABC的面积为S，外接圆半径R＝，a、b、c分别是角A、B、C的对边，设，，求sin A的值和△ABC的面积．(正弦定理：)

21(12分)已知函数，0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M(，0)对称，且在区间[0，上是单调函数，求φ和的值．

22(14分)已知向量a＝(cos2x，sin2x)，b＝(cos x，sin x) (x ÎR), 设f (x)＝3 a＋b ＋m a－b (m为正常数)．(1)求a·b；(2)当m＝3时，求证：f (x＋p )＝f (x )对一切实数x恒成立；(3)当m≠3时，函数f (x)的最小值是否能等于1，若能，请求出m的值，若不能，请说明理由．

一．选择题：BBBA　　CAAA　　ABAD

二．填空题：13．　　14．　　15．
　　16．

三．解答题：

17．(1)证明：∵(2e₁＋8e₂)＋(3e₁－3e₂)＝5 e₁＋5e₂＝5　　　2分
　　∴，又与有共同点B　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4分
　　∴ A、B、D三点共线　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分

(2) 解：∵me₁＋e₂与e₁－e₂垂直
　　∴(m e₁＋e₂)·(e₁－e₂)＝，即me＋(1－m)e₁·e₂－e＝0　　　　　　　　　　　8分
　　∵｜e₁｜＝2，｜e₂｜＝3，e₁与e₂的夹角为60°
　　∴e＝ e₁²＝4，e＝ e₂²＝9，e₁·e₂＝ e₁· e₂cos＝2×3×cos60°＝3　10分
　　∴4m＋3(1－3m)－9＝0，m＝6．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

18．解：∵，∴cos x≠0
　　在两边同除以cos²x得：
　　，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分
　　解得或
　　∵，，∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分
　　故
　　又，∴，因此，　6分
　　故，
　　故　　　　　　　　　　　　　　　　　12分

19．(1)解：由图象知，函数的周期，∴　　　　　　　　　　　 2分
　　又函数的最大值为2，最小值为－2，∴　　　　　　　　　　 4分
　　∵当时，函数取最大值，∴可取，
　　故　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6分

(2解：当，即时，函数是增函数
　　∴函数的单调递增区间是 (k∈Z)
　　当，即时，函数是减函数
　　∴函数的单调递减区间是 (k∈Z)　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分
　　(3)解：①把函数y＝sin x的图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝2sin x的图象；
　　②把函数y＝2sin x的图象向左平移个单位，得到函数的图象；
　　③把函数的图象上的各点的纵坐标保持不变，横坐标压缩为原来的，得到函数的图象．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12分

20．(1)解：由及得：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分
　　∴　Þ　
　　Þ　，即17sin²A－8sinA＝0　　　　　　　　　　 4分
　　又sinA≠0，∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分

(2)解：∵，∴由正弦定理得b＋c＝16　　　　　　　　　　　　　　　　8分
　　由(1)得，
　　由余弦定理得
　　即，解得bc＝64　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分
　　∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12分

21．解：由f (x)是偶函数，得f (－x)＝f (－x)
　　即：，所以－
　　对任意x都成立，且，∴=0
　　依题设0≤≤，故解得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4分
　　由f(x)的图象关于点M对称，得
　　取x＝0，得，所以
　　∵，∴
　　∴　Þ　，k＝0，1，2，……　　　　　　　　　　　8分
　　当k＝0时，，在[0，上是减函数
　　当k＝1时，，在[0，上是减函数
　　当k≥2时，，在[0，上不是单调函数
　　∴或．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

22．解：(1) a·b＝cos2xcos x＋sin2xsin x＝cos x　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分
　　(2) ∵ a＋b ²＝ a ²＋2 a·b＋ b ²＝2＋2cos x＝，∴ a＋b =2 cos
　　同理： a－b＝2 sin 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4分
　　∴当m＝3时，f (x)＝3 a＋b ＋3 a－b ＝6 cos＋6 sin
　　∴
　　即有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6分

(3) 当m≠3时，f (x)＝3 a＋b＋m a－b ＝6 cos＋2m sin
　　∵，∴f (x) 的周期是，故可设0≤x≤ 8分
　　①当0≤x≤ 时，0≤≤，
　　∴
　　其中，，且j Î(0，) 　10分
　　∵ ，∴f (x)的最小值为：
　　
　　由2m = 1得　 12分
　　② 当p≤x≤2p 时， £
　　∴
　　其中，，且j Î(0，)
　　∵，同理可得：
　　综上，存在，使f (x )的最小值为1．