函数的奇偶性与单调性

【基础训练】

1．在下列命题中，正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　）

　　　 A．函数y = 是奇函数，且在定义域内为减函数

　　　 B．函数y=3x³(x-1)⁰是奇函数，且在定义域内为增函数

　　　 C．函数y= x²是偶函数，且在（-3，0）上为减函数

　　　 D．函数y= ax²+c（ac≠0）是偶函数，且在（0，2）上为增函数

2．定义在（a，c）上的函数f(x)，在区间（a，b）及（b，c）上均为增函数，函数f(x)在区间（a，c）上是否为增函数如何？请举例说明 ．

3．下列函数中是偶函数的为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　）

　　　 A．f(x) = x²x（x∈（-1，1]）　　B．f(x) =

　　　 C．f(x) = lg　　　　　　　 D．f(x) =

4．给出下列四个函数：①f(x)=1-x²；②f(x)= -3x+1；③f(x)=；④f(x)=．

　　　 其中既是奇函数又是定义域上的减函数的函数个数是　　　　　　　  （　）

　　　 A．0　　B．1　　C．2　　D．3

5．已知是奇函数，则=　　　　 ．

【例题讲解】

　　　 例1　试判断下列函数的奇偶性：

　　　 （1）f(x)=x+2 + x-2；（2）f(x)；（3）．

　　　 变题1　函数是　　　　　　　　　　　　  （　）

A．奇非偶函数　B．偶非奇函数　C．既奇又偶函数　D．非奇非偶函数

　　　 变题2： 定义在R上的任意函数f(x)都可以表示为一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和，若f(x)=lg(10^x +1)，则　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　（ ）

　　　 A．g(x) = x ，h(x) = lg(10^x + 10 ^{– x} +2)

　　　 B．g(x) = ，h(x) =

　　　 C．g(x) = ，h(x) = lg(10^x +1) -

　　　 D．g(x) = -，h(x) = lg(10^x +1) -

例2　已知定义在（-∞，+∞）上的函数f(x)的图像关于原点对称，且当x＞0时，f(x)= x²-2x+2，求函数f(x)的解析式．

　　　

　　　

变题1　已知函数是奇函数，则实数的值为　　（　 ）

A．　B．1　 C．　 D．

变题2　是定义域为R的奇函数，方程的解集为M，且M中有有限个元素，则M　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  （ ）

A．可能是　　　　  B．中元素个数是偶数

C．中元素个数是奇数 　D．中元素个数可以是偶数，也可以是奇数

　　　 例3　函数f(x) = log₃(x²-2x-8)的单调减区间为__________。

　　　 例4　若奇函数f(x)是定义在（-1，1）上的增函数，试解关于a的不等式：

　　　 f(a-2)+f(a²-4)＜0．

　　　 变题1　如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且最小值是5，那么f(x)在区间[-7，-3]上是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　）

　　　 A．增函数且最小值是-5　　 B．增函数且最大值是-5

　　　 C．减函数且最小值是-5　　 D．减函数且最大值是-5

　　　 变题2　已知定义在区间（-1，1）上的函数f(x)，求函数G(x)= f(1-x)+f(1-x²)的定义域．又当f(x)为奇函数且减函数时，求G(x)＜0的解．

例5、试证明函数在区间上是增函数。

变题1 试讨论函数在区间上的单调性。

　　　 例6、已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x、y，恒有f(x)+f(y)=f(x+y)，且当x＞0时，f(x)＜0，又f(1) = - ．

　　　 （1）求证：f(x)为奇函数；

　　　 （2）求证：f(x)在R上是减函数；

　　　 （3）求f(x)在[-3，6]上的最大值与最小值．

【训练反馈】

1、对于定义域为R的偶函数，下列不等式恒成立的是　　　　　　　　　  （　）

  A．f(x)+f(-x)＞0　 B．f(x)-f(-x)＝0　 C．f(x)f(-x)＞0　 D．f(x)f(-x)≤0

2、若定义在[-a，a]上的奇函数f(x)同时也是减函数，则函数y=f(-x)在[-a，a]上 （　）

　A．既是奇函数又是增函数　B．既是奇函数又是减函数　

　C．是偶函数且先增后减　　D．是偶函数且先减后增

3、函数f(x)的图象关于原点对称，且当x≥0时，f(x)=x²-2x，则当x∈R时，函数f(x)的表达式为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　）

A． x(x-2)　B．x(x-2)　C．x(x-2)　D．x (x-2)

4、设函数在R上是减函数，则有　（　　）

A、　　B、 　　　C、　　　　D、

5、若函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在区间上　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　 ）

A、必是增函数　　　　　　 B、是增函数或减函数

C、必是减函数　　　　　　 D、未必是增函数或减函数

6、函数在上递减，在上递增，则实数＝　　.

7、函数在上是减函数，那么______。

8、函数f(x)=的递减区间是　　　　  ．

9、若f(x)是偶函数，则f(1+) - f()= 　　　　　　　．

10、已知f(x)= ax⁴+bx²+2x-8，且f(-1)=10，则f(1)= 　　　　 　．

11、判断符号函数sgn(x) =　的奇偶性．

12、设f(x)是（-∞，+∞）上的偶函数，且f(x+2)= -f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)=x，则 f(5.5)的值为__________________。

13、已知函数f(x) = (a＞0，且a≠1)．

（1）判断f(x)的奇偶性；

（2）讨论f(x)的单调性．

14、已知函数求a的取值范围。

15、设是定义在上的增函数，满足，且.

（1）求；

（2）若 ，求的取值范围.