数学竞赛辅导讲义（1）

（一）　 抽象函数

知识提要：所谓抽象函数泛指不具体的函数，然而抽象函数又以具体函数为背景，所以研究抽象函数很有应用价值.

1.设是定义在上的增函数，且，若，则使成立的的取值范围是　　　　　　　　　　　  .

2.函数是定义在上的函数，它的图象既关于直线对称，又关于直线对称，则函数的最小正周期是　　　 .

3.设函数是在上有定义且在上是单调递减的周期为的偶函数，则由小到大的顺序为　　　　　　　　　　　　　  .

4.定义在上的函数，恒有.若，那么等于　　　.

（二）函数和{}

知识提要： 函数表示实数的整数部分（不超过的最大整数）.通常称为取整函数，又称高斯函数.而为实数的小数部分.任一实数都能写成整数部分与小数部分之和， 即.例如：当时，，，且.

5.定义符号表示不超过的最大整数.则方程的解集（以弧度为单位）是　　　　　　　　　　　　　　　 .

6.设表示不超过的最大整数，则不等式的解集是　　　　　　 .

7.自然数能被整除，其中表示不超过的最大整数，则的表达式为　　　（用表示结果）.

8.是成立的　　　　　　　  条件.（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分且必要”、“既不充分也不必要”四者之一）

（三）函数迭代和函数方程

设是的函数，对任意记定义则称函数为的次迭代. 的一般求法是先猜后证：先迭代几次，观察有何规律，由此猜测出的表达式，然后证明.

含有未知函数的方程称为函数方程.如果一个函数对其定义域内自变量的一切取值均满足所给的函数方程，则称为该方程的解.证明函数方程无解或寻求其解的过程就是解函数方程.一般用以下方法：

（1）代换法：将方程中的自变量适当地以别的自变量代换（代换时应注意使函数的定义域不发生变化），得到一个或几个新的函数方程，然后设法求得未知函数.

（2）赋值法：根据所给条件，适当地对自变量赋予某些特殊值，从而简化函数方程，逐步靠近未知结果，最终解决问题.

（3）待定系数法：当函数方程中的未知函数是多项式时，可用此法比较系数而求解.

（4）递推法：即通过初始条件和递推关系求解，例如通过数列的递推关系求通项公式等.

9.自然数的各位数字和的平方记为且则的值域为　

（A） ； （B）　　；（C） ； （D）

  10.设而记则等于