2006年汕头市高中一年级新课程数学必修１－４测试

一、选择题（本大题共10小题，共50分）

1、求值：（　　）　　Ａ．　　　Ｂ．　　　　　Ｃ．　　　　　Ｄ．

2、已知集合，若，则实数的取值范围是（　　）　　Ａ．　　　　 Ｂ．　　　　Ｃ．　　　　 　Ｄ．

3、给出下面4个关系式：①；②；③；

④；其中正确命题的个数是

Ａ．　　　　 　　　　　 Ｂ．　　　　　　 

 Ｃ．　　　 　　　　　　 Ｄ．

4、如图是容量为100的样本的频率分布直方图，

则样本数据在内的频率和频数分别是

　 Ａ．　　　　　　 Ｂ．　　　

　Ｃ．　　　　　　 Ｄ．

5、某路公共汽车5分钟一班准时到达A站，则任意一人在A站等车时间少于2分钟的概率为

　 Ａ．　　　　 　　　 Ｂ．　　　　　　  Ｃ．　　　　　　　　 Ｄ．

6、正方体的全面积是24，则它的外接球的体积是

INPUT　 m , n DO 　 r=m　 MOD　 n 　 m=n 　 n=r LOOP UNTIL　 r=0 PRINT　m END 　　（第7题）

　 Ａ．　　　　　　　 Ｂ．　　　　  　　　　　　　　　　　　

 Ｃ．　　 　　　　　　　Ｄ．

7、运行下列程序：

　 当输入168，72时，输出的结果是

　Ａ．　　　　　　　　 Ｂ．　　

　Ｃ．　　　　　　　　　 Ｄ．

8、在中，已知，的面积为，则的值为

　 Ａ．　　　　　　　 Ｂ．　　　　　　  Ｃ．　　　　　　　　 Ｄ．

9、函数的值域是

　 Ａ．　　　　　Ｂ．　　　　  Ｃ．　　　　　　 Ｄ．

10、若偶函数在区间上是减函数，是锐角三角形的两个内角，且，

则下列不等式中正确的是

　Ａ．　　　　　　　　　  Ｂ．　　　　

 Ｃ．　　　　　　　　　　 Ｄ．

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

11、已知向量，且与平行，则　　　　　　　　．

12、已知函数，若，则　　　　　　　　．

13、已知函数的图像关于直线对称，则的值是　　　　．

14、计算的程序框图如下：

其中空白框①应填入　　　　　　　　　　

 

　　空白框②应填入　　　　　　　　　　

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

15、(13分)已知函数．

（１）求的最小正周期；

（２）若的最大值为，求的值．

16、(13分)连续掷两次骰子，以先后得到的点数为点的坐标，设圆的方程

　为．

（１）求点在圆上的概率；

（２）求点在圆外部的概率．

17、(13分)如图：正三角形ABC与直角三角形BCD所在平面互相垂直，且，

　．

（１）求证：；

（２）求二面角的正切值．

18、(13分)已知，求的值．

19、(14分)已知圆，直线．

（１）若与相切，求的值；

（２）是否存在值，使得与相交于两点，且（其中为坐标原点），

若存在，求出，若不存在，请说明理由．

20、(14分)已知是方程的两个实根．

（１）当实数为何值时，取得最小值？

（２）若都大于，求的取值范围．

2006年汕头市高中一年级新课程必修阶段测试

数学科参考答案

一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分，四项选一项)

1．答案B

　 解：原式=sin(－2π+)=sin=．

2．答案B

　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　 　　a－1≤3

　 结合数轴　　　　  　　　　　　　　　　　　 得　　　　　　 ，即3≤a≤4．

　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　 　　a+2≥5

3．答案B

　 解：①、③正确．

4．答案A

　 解：在[6，10)内频率为0.08×4=0.32，

　　　 频数为0.32×100=32．

5．答案C

　 解：设乘客到达A站的时刻为t，等车时间为x分钟，则0≤x≤5，

根据几何概型，等车时间少于2分钟的概率为P=．

6．答案B

　 解：设正方体棱长为a，外接球半径为R，则6a²=24，

　　　 ∴a=2，又2R=a，∴R=，

∴V_球=πR³=4π．

7．答案D

　 解：当m≥n>0时，该程序的作用是求两个正整数的最大公约数，

　　　 因为168与72的最大公约数是24，所以输出结果是24．

8．答案A

　 解：S_△ABC=·AB·AC·sinA=×4×1×sinA=，

∴sinA=，∴cosA=±=±，

∴AB·AC=AB·AC·cosA=4×1×(±)=±2．

9．答案A

　 解：y=sinx+1－sin²x=－(sinx－)²+，

　　 ∵sinx∈[－1，1]，

∴sinx=时，y_max=，

又sinx=－1时，y_min=－1 ∴值域为[－1，]

10．答案C

　 解：∵偶函数f(x)在区间[－1，0]上是减函数，

∴f(x)在[0，1]上是增函数，

又α，β是锐角三角形的两个内角，∴α+β>，

∴>α>－β>0，∴0<cosα<cos(－β)<1，

即0<cosα<sinβ<1，∴f(cosα)<f(sinβ)．

二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)

11．答案－4

解：a + b =(2+x，－1)，2a－b =(4－x，4)

　　∵a + b与2a－b平行，∴(2+x)×4=－1×(4－x)，∴x=－4．

12．答案7

　　解：f(1)=a+=3，∴f(2)=a²+=(a+)²－2=3²－2=7．

13．答案－1

解：依设有f(－α)=f(+α)，令α=，得

f(0)=f()，∴－k=1，∴k=－1

14．答案 ①S=S+i²； ②i=i+2

三、解答题：本大题共6个小题，共80分。

15．解：f(x)=(cosx－sinx)²+m　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……2分

　　　　　　　　 =cos²x+sin²x－2cosx·sinx+m　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……4分

　　　　　　　　　　　　　　　=1－sin2x+m　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……6分

(Ⅰ)f(x)的最小正周期为T==π ． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……9分

(Ⅱ)当sin2x=－1时f(x)有最大值为2+m　　 ，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……12分

　∴2+m=3　 ， ∴m=1 ．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……13分

16．解：m的值的所有可能是1，2，3，4，5，6，

　　　　　　 n的值的所有可能是1，2，3，4，5，6，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……2分

　　 点P(m，n)的所有可能情况有6×6=36种，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……4分

　　 且每一种可能出现的可能性相等，本问题属古典概型问题．　　　　　　　　　　　 ……6分

(Ⅰ)点P在圆Q上只有P(1,4)，P(4,1)两种情况，

　根据古典概型公式，点P在圆Q上的概率为p₁==，　　　　　　　　　　　 ……9分

(Ⅱ)点P在圆Q内的坐标是(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)共有8点，

　所以点P在圆Q外部的概率为p₂=1－=．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……13分

17．(Ⅰ)证明：∵DC⊥BC，且平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC,

∴DC⊥平面ABC，

又AB平面ABC，∴DC⊥AB．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……5分

(Ⅱ)解：过C作CE⊥AB于E，连结ED，

∵AB⊥CD，AB⊥EC，CD∩EC=C，

∴AB⊥平面ECD，

又DE平面ECD，∴AB⊥ED，

∴∠CED是二面角D－AB－C的平面角， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……9分

设CD=a，则BC==a，

∵△ABC是正三角形，∴EC=BCsin60^o=，

在Rt△DEC中，tan∠DEC===．　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……13分

18．解：∵α∈(，π)　∴sinα==，　　　　　　　　　　　　　　　　　　……2分

　　　　 ∴tanα==－， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……4分

　　　　 ∵tan(π－β)=  ∴tanβ=－，　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……6分

∴tan2β===－，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……9分

∴tan(α－2β)===．　　　　　　　　 ……13分

19．解：(Ⅰ)由圆方程配方得(x+1)²+(y－3)²=9，

　　　　  圆心为C(－1，3)，半径为r=3，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……2分

　　　　  若 l与C相切，则得=3，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……4分

　 ∴(3m－4)²=9(1+m²)，∴m=．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……5分

(Ⅱ)假设存在m满足题意。

  _由　 x²+y²+2x－6y+1=0　 _{，消去x得}

　　　 x=3－my　　　　　　 

　(m²+1)y²－(8m+6)y+16=0， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……7分

  由△=(8m+6)²－4(m²+1)·16>0，得m>，　　　　　　 　　　　　　……8分

 设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则y₁+y₂=，y₁y₂=．

　OA·OB=x₁x₂+y₁y₂

　　　　  =(3－my₁)(3－my₂)+y₁y₂

=9－3m(y₁+y₂)+(m²+1)y₁y₂

=9－3m·+(m²+1)·

=25－=0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……12分

24m²+18m=25m²+25，m²－18m+25=0，

∴m=9±2，适合m>，

　　　　　　　　∴存在m=9±2符合要求．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……14分

20．解：(Ⅰ)∵△=16m²－16(m+2)=16(m²－m－2)≥0，

　　　　　　　　　　 ∴m≤－1或m≥2，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……3分

　　　　　 又∵x+x=(x₁+x₂)²－2x₁x₂=m²－2·=(m－)²－，

　　　　　 ∴当m=－1时，x+x有最小值.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……7分

　　　　(Ⅱ)(x₁－)(x₂－)>0且(x₁－)+(x₂－)>0，

　　　　　 即x₁x₂－(x₁+x₂)+>0且x₁+x₂－1>0，　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……10分

　　　　　　　　 －m+>0且m－1>0，

　　　　　  ∴m<3，且m>1，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……12分

　　　　　 又∵△≥0， ∴2≤m<3 .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……14分

解法二：等价于较小的根得解（过程略）。

参考答案

1．答案B，2．答案B，3．答案B，4．答案A，5．答案C

6．答案B，7．答案D，8．答案A，9．答案A，10．答案C

13．答案－1，12．答案7，11．答案－4，14．答案 ①S=S+i²； ②i=i+2

15．T==π，m=1 ，16．p₁==，p₂=1－=

17．tan∠DEC===

18．tan(α－2β)===

19．m=，存在m=9±2符合要求

20．当m=－1时，x+x有最小值，2≤m<3