《正弦定理、余弦定理、解斜三角形》
一、复习要求 :
1. 掌握正弦、余弦定理,能运用知识解斜三角形。
2. 用正弦、余弦定理判断三角形的形状。
二、知识点回顾
(1) 正弦定理:(2R为三角形外接圆直径),
(为三角形面积),其他形式: a :b :c = sinA :sinB :sinC
a=2RsinA, b=2RsinB , c=2RsinC
(2) 余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA,(可按a,b,c,a轮换得另二式)
余弦定理变式: , (轮换得另二式)
余弦定理向量式:如图 a=b+ c , c= a – b
c2=c2=a-b2=(a-b)2=a2+b2 - 2﹒a﹒b
=a2+b2 - 2abcosC
(其中|a=a,b=b,c=c)
三、典型例题分析:
例1:在三角形ABC中,若C=3B,求的范围
分析:角边比转化,可用正弦定理
解:
A+B+C=1800 ,C=3B, 4B<1800,00<B<450,
1<4cos2B-1<3 故
练习1:在ABC中,若sinA=2cosBsinC,则ABC的形状是
例2:在ABC中,已知4sinBsinC=1, B>C ,且b2+c2 =a2+bc, 求A,B,C。
解: , A=600 又 4sinBsinC=1
4sinBsin(1200-B)=1
2B=300 或2100
B>C , 2B=2100 即 B=1050
A=600 B=1050 C=150
练习2:在ABC中,2B=A+C 且tanAtanC=2+ 求(1)A、B、C的大小
(2) 若AB边上的高CD=4,求三边a、b、c
例3:如图,已知P为ABC内一点,且满足∠PAB=∠PBC=∠PCA=
求证cot=cotA+cotB+cotC
解:在ABC中,
=
同理
sinAsinBsinCcos=sinAsinBcosCsin+sin2C sin
四:作业
1.在ABC中,a+b= 求边c的长
2.在ABC中,S是它的面积,a,b是它的两条边的长度,S=
求这个三角形的各内角.
3.已知圆O的半径为R,它的内角三角形ABC中,2R(sin2A-sin2C)=
成立,求三角形ABC的面积S的最大值.