数列证明题

１、已知a + b + c , b + c －a , c + a －b , a + b －c 成等比数列, 公比为q , 求证：

(1)  q³ + q² + q = 1 ; (2)　q =  .

2、设数列{a_n}的前n项和为S_n，若对于所有的自然数n，都有S_n=,证明{a_n}是等差数列。

3、已知数列{a_n}的前n项和S_n=4－4·2^-n，(n∈N)，求证：{a_n}成等比数列。

4、数列{a_n}的前n项和S_n=2-2n，求证数列{a_n}是等差数列。

5、已知数列中，，前项的和为，且满足求证：数列是等差数列.

6、数列的前n 项之和S_n = 3n²　( n = 1 , 2 , 3 , …) . (1)　求证： a_n+1－ a_n 是与n 无关的定值. (2)　求数列的通项公式.

7、两个数列{a_n}，{b_n}满足关系式b_n=(nÎN^*)，若{b_n}是等差数列，求证{a_n}也是等差数列。

8、已知a、b、c成等差数列，x与y分别是a、b与b、c的等比中项，求证：x²、b²、y²也成等差数列。

9、已知等比数列{a_n}与等差数列{b_n}满足a₁＞0，＞0，b₂－b₁＞0，求证：一定存在实数a，使log_aa_n－b_n与n无关。

10、设A_n为数列前n 项的和，A_n ＝。数列的通项公式为

.若，则称为数列与的公共项。将数列与的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列，证明数列的通项公式为.

答案提示

1、q + q² + q³ 是等比数列第2 , 3 , 4 项之和与第一项的比值.

2、当n≥2时，由题设，，.

所以.

同理有.

整理得a_n＋1－a_n=a_n－a_n－1，对于任意n≥2成立，

因此a_n＋1－a_n=a_n－a_n－1=…=a₂－a₁，从而{a_n}是等差数列。

２、首项a₁＝2，公比q＝

4、略

5、证明：∵，∴

　　，即

  而，∴.

  即，∴，∴.

∴是等差数列，或（舍去），＝2.

6、(1) 略 (2) a_n = 6n －3

7、略

8、证：∵2b=a+c，x²=ab，y²=bc.　 ∴x²+y²=(a+c)b=2b²，故x²、b²、y²成等差数列。

9、取即可，其中，

10、证明：由计算可知，不是数列中的项。

　　　∵＝27＝4×6＋3，∴是数列中的第6项。

　　　设是数列中的第m项，则

　　　∵

　　　∴不是数列中的项。

　　　而

　　　∴是数列中的项，由以上讨论可知

　　　，

　　　∴数列的通项公式是.

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