黄冈市蕲春一中高一数学同步单元测试（3）
第四章：三角函数 第三单元三角函数的图象和性质
命题人 黄冈蕲春一中 高级教师刘杰峰
一、选择题：（5*12=60分）
1．函数y＝sin(―2x)―cos2x的最小值为( )
A．――1 B．－1 C．－ D．0
2．函数y＝2(sin2πx－1)的最小正周期与最小值分别为( )
A．π与－1 B．π与－2 C．1与－1 D．1与－2
3．方程2x＝cosx的实根个数是( )
A．无数个 B．3个 C．2个 D．1个
4．为了使函数y＝sinωx(ω＞0)在区间[0,1]上出现50次最大值，则ω的最小值为( )
A．98π B． C． D．100π
5．先将函数y＝sin2x的图象向右平移个单位，再将所得图象作关于y轴的对称变换，所得图象的解析式是( )
A．y＝sin(－2x＋)
B．y＝sin(－2x―)
C．y＝sin(－2x＋)
D．y＝sin(－2x―)
6．函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期上的图象为下图所示．则函数的解析式是( )
A．y＝2sin(－) B．y＝2sin(＋)
C．y＝2sin(＋) D．y＝2sin(－)
7．函数f(x)＝cos(3x＋φ)的图象关于原点中心对称的充要条件是(k∈Z)( )
A．φ＝ B．φ＝kπ＋ C．φ＝kπ D．φ＝2kπ－
8．函数y＝的奇偶性是( )
A．奇函数 B．偶函数 C．亦奇亦偶函数 D．非奇非偶函数
9．下列函数中，周期为π，且在(0, )上单调递增的是( )
A．y＝tanx B．y＝cotx C．y＝sinx D．y＝cosx
10．如果θ角的终边过点P(cos＋sin，cos－sin)，则θ的一个可能的值为 ( )
A． B． C． D．
11．函数f(x)＝sinx，x∈[,]的反函数f－1(x)＝( )
A．―arcsinx x∈[―1,1] B．―π―arcsinx x∈[―1,1]
C．π＋arcsinx x∈[－1,1] D．π―arcsinx x∈[―1,1]
12．设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，(A≠0，ω＞0,－＜φ＜)的图象关于直线x＝对称，它的周期是π，则( )
A．f(x)的图象过点(0, ) B．f(x)的图象在[,]上递减
C．f(x)的最大值为A D．f(x)的一个对称中心是点(,0)
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 |
二、填空题：（16分）
13．函数y＝sin(－2x)的单调递增区间是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
14．已知f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x－θ)为偶函数，则tanθ＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
15．已知方程cos2x＋4sinx－a＝0有解，则a的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
16．关于函数f(x)＝cos(2x－)＋cos(2x＋)，有下列命题：
①f(x)的最大值为；
②f(x)是以π为最小正周期的周期函数；
③f(x)在区间(,)上单调递减；
④将函数y＝cos2x的图象向左平移个单位后，将与f(x)的图象重合，其中正确命题的序号是＿＿＿＿＿
三、解答题：（74分）
17．（12分）已知函数y＝sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x. x∈R．
(1)求函数的最小正周期．
(2)函数的图象可由函数y＝sin2x的图象经过怎样的变换得出？
18．（12分）
已知函数y＝3sin3x．
(1)作出函数在x∈[,]上的图象．
(2)求(1)中函数的图象与直线y＝3所围成的封闭图形的面积．
19．（12分）已知函数f(x)＝5sinxcosx－5cos2x＋.(x∈R)
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)求f(x)图象的对称轴，对称中心．
20．（12分）已知y＝Asin(ωx＋φ)，(A＞0, ω＞0)的图象过点P(,0)图象上与点P最近的一个顶点是Q(,5)．
(1)求函数的解析式；
(2)指出函数的增区间；
(3)求使y≤0的x的取值范围．
21．（12分）函数f(x)＝1―2acosx―2a―2sin2x的最小值为g(a)，(a∈R)．求：
(1)g(a)；
(2)若g(a)＝，求a及此时f(x)的最大值．
22．（14分）关于x的方程8x2－6kx＋2k＋1＝0(k为常数)的两根能不能是某一直角三角形的两个锐角的正弦？若能，求出k的值；若不能，说明理由．
答案：
1．B 解：y＝(cos2x―sin2x)―cos2x＝sin(―2x)≥―1．
2．D 解：y＝2(－1)＝―cos2πx―1．
3．D4．B ∵T＝，∴49T＝≤1
ω≥．
5．D6．C7．B 解：∵(x,y)与(―x,―y)关于原点对称，∴―cos(―3x＋φ)＝cos(3x＋φ)．和差化积得2cosφ·cos3x＝0，∵cos3x不恒为零，∴cosφ＝0 φ＝kπ＋(k∈R)．故选(B)
8．D 解：令1＋sinx＋cosx≠0sin(x＋)≠－x＋≠2kπ＋或2kπ－．
∴x≠2kπ＋π或x≠2kπ－．k∈Z．∴定义域关于原点不对称．∴选(D)．
9．C
10．D 解：tanθ＝，＝＝＝tan(－)
＝tan(－) ∴θ＝kπ－ 又cos＋sin＞0，cos－sin＜0
∴θ为第四象限角，∴θ＝2kπ－(k∈z)，故选D．
11．D 解：∵x∈[,]，x―π∈[―,]，－y＝sin(x－π)
∴x－π＝arcsin(－y)，y＝π―arcsinx x∈[―1,1]．
12．D 解：T＝π．∴ω＝2．点(x,y)关于x＝的对称点为(―x,y)．代入得：sin[2(－x)＋φ]＝sin(2x＋φ)sin(－2x＋φ)＝sin(2x＋φ)．化积得2cos(＋φ)·sin(2x－)＝0．∴cos(＋φ)＝0φ＝．∴f(x)＝Asin(2x＋)．再用检验法．
13．[kπ＋,kπ＋]．k∈Z
14．－ 解：sin(－x＋θ)＋cos(―x―θ)＝sin(x＋θ)＋cos(x－θ)[cos(x＋θ)―cos(x―θ)]＝sin(x＋θ)＋sin(x―θ)―2sinθsinX＝2sinXcosθ．
∵sinX不恒为0．∴tanθ＝－．
15．[－4,4] 解：a＝―(sinx―2)2＋5． sinx∈[－1,1]
∴a∈[－4,4]．
16．①②③ 解：f(x)＝2cos(2x―)·cos(―)＝cos(2x－)．易知①、②、③成立．
17．y＝sin2x＋cos2x＋2＝sin(2x＋)＋2．
(1)T＝π，
(2)将y＝sin2x的图象向左平移个长度单位，再向上平移2个单位长度即得．
18．利用对称性．S＝(－)×3＝2π．
19．解：f(x)＝sin2x－(1＋cos2x)＋＝5sin(2x－)．
∴(1)T＝π．
(2)令2kπ―≤2x―≤2kπ＋在[kπ－,kπ＋](k∈Z)上单增，在[kπ＋, kπ＋π](k∈Z)上单减．
(3)对称轴为x＝＋(k∈z)，对称中心为(＋,0)(k∈z)．
20．解：(1)由过(,5)知A＝5．＝－＝，
∴T＝π, ω＝2．将Q(,5)代入y＝5sin(2x＋φ)得φ＝－．
∴函数解析式为y＝5sin(2x－)．
(2)由2kπ―≤2x―≤2kπ＋．
得增区间为[kπ－,kπ＋].k∈Z．
(3)5sin(2x－)≤02kπ＋π≤2x－≤2kπ＋2π．
x∈[kπ＋,kπ＋π].k∈Z．
21．解：f(x)＝2cos2x―2acosx―2a―1＝2(cosx―)2――2a―1．
(1)当＜－1即a＜－2时．g(a)＝1 . (此时cosx＝－1)．
当－1≤≤1即－2≤a≤2时．g(a)＝――2a―1． (此时cosx＝)．
当a＞2时，g(a)＝2―2a―2a―1＝1－4a． (此时cosx＝1)．
∴g(a)＝．
(2)∵g(a)＝1．显然a＜－2和a＞2不成立．
∴a＝－1或－3(舍)．
∴f(x)＝2cos2x＋2cosx＋1＝2(cosx＋)2＋．
∴当cosx＝1时，f(x)max＝5．
22．解：假设能，且A、B为这直角三角形的两锐角，则有
②2－③×2得：9k2―8k―20＝0．k＝2或－．(舍)．
当k＝2时．代入③得sinA·sinB＝sinA cosA＝sin2A＝＝．
∴sinA＝＞1不成立．故不可能．