等差数列的前n项和·例题解析

 

【例1】　等差数列前10项的和为140，其中，项数为奇数的各项的和为125，求其第6项．

解　依题意，得

解得a₁=113，d=－22．

∴ 其通项公式为

a_n=113＋(n－1)·(－22)=－22n＋135

∴a₆=－22×6＋135＝3

说明　本题上边给出的解法是先求出基本元素a₁、d，再求其他的．这种先求出基本元素，再用它们去构成其他元素的方法，是经常用到的一种方法．在本课中如果注意到a₆=a₁＋5d，也可以不必求出a_n而

即a₆＝3．可见，在做题的时候，要注意运算的合理性．当然要做到这一点，必须以对知识的熟练掌握为前提．

【例2】　  在两个等差数列2，5，8，…，197与2，7，12，…，197中，求它们相同项的和．

解　由已知，第一个数列的通项为a_n＝3n－1；第二个数列的通项为b_N=5N－3

若a_m＝b_N，则有3n－1＝5N－3

若满足n为正整数，必须有N＝3k＋1(k为非负整数)．

又2≤5N－3≤197，即1≤N≤40，所以

N＝1，4，7，…，40　 n=1，6，11，…，66

∴ 两数列相同项的和为

2＋17＋32＋…＋197=1393

【例3】　选择题：实数a，b，5a，7，3b，…，c组成等差数列，且a＋b＋5a＋7＋3b＋…＋c＝2500，则a，b，c的值分别为

[　　]

A．1，3，5　　　B．1，3，7

C．1，3，99　　　 　D．1，3，9

又∵ 14＝5a＋3b，

∴　a＝1，b＝3

∴首项为1，公差为2

∴a₅₀=c=1＋(50－1)·2=99

∴ a＝1，b＝3，c＝99

【例4】　在1和2之间插入2n个数，组成首项为1、末项为2的等差数列，若这个数列的前半部分的和同后半部分的和之比为9∶13，求插入的数的个数．

解　依题意2＝1＋(2n＋2－1)d　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

由①，有(2n＋1)d=1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⑤

∴ 共插入10个数．

【例5】　在等差数列{a_n}中，设前m项和为S_m，前n项和为S_n，且S_m＝S_n，m≠n，求S_m+n．

且S_m＝S_n，m≠n

∴S_m+n＝0

【例6】　已知等差数列{a_n}中，S₃=21，S₆=64，求数列｛a_n｝的前n项和T_n．

d，已知S₃和S₆的值，解方程组可得a₁与d，再对数列的前若干项的正负性进行判断，则可求出T_n来．

解方程组得：d＝－2，a₁＝9

∴a_n＝9＋(n－1)(n－2)＝－2n＋11

其余各项为负．数列{a_n}的前n项和为：

∴当n≤5时，T_n＝－n²＋10n

当n＞6时，T_n＝S₅＋S_n－S₅＝S₅－(S_n－S₅)＝2S₅－S_n

∴T_n＝2(－25＋50)－(－n²＋10n)＝n²－10n＋50

说明　根据数列{a_n}中项的符号，运用分类讨论思想可求｛a_n｝的前n项和．

【例7】　在等差数列{a_n}中，已知a₆＋a₉＋a₁₂＋a₁₅＝34，求前20项之和．

解法一　由a₆＋a₉＋a₁₂＋a₁₅＝34

得4a₁＋38d＝34

＝20a₁＋190d

＝5(4a₁＋38d)=5×34=170

由等差数列的性质可得：

a₆＋a₁₅=a₉＋a₁₂＝a₁＋a₂₀　∴a₁＋a₂₀=17

S₂₀＝170

【例8】　已知等差数列{a_n}的公差是正数，且a₃·a₇=－12，a₄＋a₆=－4，求它的前20项的和S₂₀的值．

解法一　设等差数列{a_n}的公差为d，则d＞0，由已知可得

由②，有a₁＝－2－4d，代入①，有d²=4

再由d＞0，得d＝2　∴a₁=－10

最后由等差数列的前n项和公式，可求得S₂₀＝180

解法二　由等差数列的性质可得：

a₄＋a₆＝a₃＋a₇　即a₃＋a₇＝－4

又a₃·a₇=－12，由韦达定理可知：

a₃，a₇是方程x²＋4x－12＝0的二根

解方程可得x₁=－6，x₂＝2

∵　d＞0　∴{a_n}是递增数列

∴a₃＝－6，a₇=2

【例9】　等差数列{a_n}、{b_n}的前n项和分别为S_n和T_n，若

[　　]

∵2a₁₀₀＝a₁＋a₁₉₉，2b₁₀₀＝b₁＋b₁₉₉

解法二　利用数列{a_n}为等差数列的充要条件：S_n＝an²＋

bn

可设S_n＝2n²k，T_n＝n(3n＋1)k

说明　该解法涉及数列{a_n}为等差数列的充要条件S_n=an²＋bn，由

k是常数，就不对了．

【例10】　解答下列各题：

(1)已知：等差数列{a_n}中a₂＝3，a₆＝－17，求a₉；

(2)在19与89中间插入几个数，使它们与这两个数组成等差数列，并且此数列各项之和为1350，求这几个数；

(3)已知：等差数列{a_n}中，a₄＋a₆＋a₁₅＋a₁₇＝50，求S₂₀；

(4)已知：等差数列{a_n}中，a_n=33－3n，求S_n的最大值．

分析与解答

a₉=a₆＋(9－6)d=－17＋3×(－5)=－32

(2)a₁=19，a_n+2=89，S_n+2＝1350

(3)∵a₄＋a₆＋a₁₅＋a₁₇=50

又因它们的下标有4＋17＝6＋15=21

∴a₄＋a₁₇=a₆＋a₁₅=25

(4)∵a_n=33－3n　∴a₁＝30

∵n∈N，∴当n=10或n=11时，S_n取最大值165．

【例11】　求证：前n项和为4n²＋3n的数列是等差数列．

证　设这个数列的第n项为a_n，前n项和为S_n．

当n≥2时，a_n＝S_n－S_n-1

∴a_n＝(4n²＋3n)－[4(n－1)²＋3(n－1)]

=8n－1

当n=1时，a₁=S₁=4＋3=7

由以上两种情况可知，对所有的自然数n，都有a_n=8n－1

又a_n+1－a_n＝[8(n＋1)－1]－(8n－1)＝8

∴这个数列是首项为7，公差为8的等差数列．

说明　这里使用了“a_n=S_n－S_n-1”这一关系．使用这一关系时，要注意，它只在n≥2时成立．因为当n＝1时，S_n-1=S₀，而S₀是没有定义的．所以，解题时，要像上边解答一样，补上n＝1时的情况．

【例12】　证明：数列{a_n}的前n项之和S_n＝an²＋bn(a、b为常数)是这个数列成为等差数列的充分必要条件．

由S_n＝an²＋bn，得

当n≥2时，a_n＝S_n－S_n-1

＝an²＋bn－a(n－1)²－b(n－1)

=2na＋b－a

a₁＝S₁＝a＋b

∴对于任何n∈N，a_n＝2na＋b－a

且a_n－a_n-1=2na＋(b－a)－2(n－1)a－b＋a

＝2a(常数)

∴{a_n}是等差数列．

若{a_n}是等差数列，则

S_n=an²＋bn

综上所述，S_n=an²＋bn是{a_n}成等差数列的充要条件．

说明　由本题的结果，进而可以得到下面的结论：前n项和为S_n=an²＋bn＋c的数列是等差数列的充分必要条件是c＝0．事实上，设数列为{u_n}，则：

【例13】　等差数列{a_n}的前n项和S_n＝m，前m项和S_m＝n(m＞n)，求前m＋n项和S_m+n．

解法一　设{a_n}的公差d

按题意，则有

=－(m＋n)

解法二　设S_x＝Ax²＋Bx(x∈N)

①－②，得A(m²－n²)＋B(m－n)＝n－m

∵m≠n　∴ A(m＋n)＋B=－1

故A(m＋n)²＋B(m＋n)＝－(m＋n)

即S_m+n＝－(m＋n)

说明　a₁，d是等差数列的基本元素，通常是先求出基本元素，再

解的“整体化”思想，在解有关数列题目中值得借鉴．解法二中，由于是等差数列，由例22，故可设S_x=Ax²＋Bx．(x∈N)

【例14】　在项数为2n的等差数列中，各奇数项之和为75，各偶数项之和为90，末项与首项之差为27，则n之值是多少？

解　∵S_偶项－S_奇项=nd

∴nd=90－75=15

又由a_2n－a₁＝27，即(2n－1)d=27

【例15】　在等差数列{a_n}中，已知a₁＝25，S₉＝S₁₇，问数列前多少项和最大，并求出最大值．

解法一　建立S_n关于n的函数，运用函数思想，求最大值．

∵a₁=25，S₁₇＝S₉　解得d＝－2

∴当n=13时，S_n最大，最大值S₁₃＝169

解法二　因为a₁=25＞0，d＝－2＜0，所以数列{a_n}是递减等

∵a₁＝25，S₉＝S₁₇

∴a_n=25＋(n－1)(－2)=－2n＋27

即前13项和最大，由等差数列的前n项和公式可求得S₁₃=169．

解法三　利用S₉=S₁₇寻找相邻项的关系．

由题意S₉=S₁₇得a₁₀＋a₁₁＋a₁₂＋…＋a₁₇=0

而a₁₀＋a₁₇=a₁₁＋a₁₆=a₁₂＋a₁₅=a₁₃＋a₁₄

∴a₁₃＋a₁₄＝0，a₁₃=－a₁₄　∴a₁₃≥0，a₁₄≤0

∴S₁₃=169最大．

解法四　根据等差数列前n项和的函数图像，确定取最大值时的n．

∵{a_n}是等差数列

∴可设S_n＝An²＋Bn

二次函数y=Ax²＋Bx的图像过原点，如图3．2－1所示

∵S₉＝S₁₇，

∴取n=13时，S₁₃＝169最大