任意的三角函数·基础练习题

　

一、选择题

1．下列说法正确的是 [　　]

A．小于90°的角是锐角

B．大于90°的角是钝角

C．0°～90°间的角一定是锐角

D．锐角一定是第一象限的角

答：D

解：0°～90°间的角指的是半闭区间0°≤θ＜90°，小于90°的角可是以是负角或零角，大于 90°的角可以是任何象限的角．

2．设A={钝角}，B=｛小于180°的角}，C={第二象限的角}，　D={小于180°而大于90°的角}，则 下列等式中成立的是　　[　　]

A．A=C

B．A=B

C．C=D

D．A=D

答：D

解：第二象限的角不是钝角，小于180°的角也不一定是钝角．

　　  [　　]

A．第一象限角

B．第二象限角

C．第一象限角或第三象限角

D．第一象限角或第二象限角

答：C

　　  [　　]

A．重合

B．关于原点对称

C．关于x轴对称

D．关于y轴对称

答：C

解：∵α与-α角的终边关于x轴对称或重合于x轴上，θ=2kπ+

5．若α，β的终边互为反向延长线，则有　　[　　]

A．α=-β

B．α=2kπ+β(k∈Z)

C．α=π+β

D．α=(2k+1)π+β(k∈Z)

答：D

解：在0～2π内α与β的终边互为反向延长线，则α=π+β或β=π+α，即α与π+β或α+π与β的终边相同，∴α=2kπ-(π+β)(k∈Z)或π+a=2kπ+β(k∈Z)∴α=2kπ-π+β(k∈Z)即α= (2k-1)π+β(k∈Z)．

　　　 [　　]

A．A=B

D．以上都不对

答：A

7．在直角坐标系中，若角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系一定是 [　　]

A．α+β=π

B．α+β=2kπ(k∈Z)

C．α+β＝nπ(n∈Z)

D．α+β＝(2k+1)π(k∈Z)

答：D

解：α与β的终边关于y轴对称，α+β的终边与π的终边相同∴α+β=2kπ+π＝(2k+1)π(k∈Z)．

8．终边在第一、三象限角的平分线上的角可表示为　　[　　]

A．k·180°+45°(k∈Z)

B．k·180°±45°(k∈Z)

C．k·360°+45°(k∈Z)

D．以上结论都不对

答：A

解：∵终边在直线y=x(x＞0)的角为α₁=k·360°+45°(k∈Z)终边在直线y=x(x＜0)上的角为α₂＝k·360°+225°(k∈Z)α₁=2k·180°+45°，α₂=2k·180°+180°+45°(k∈Z)α₂=(2k+1)·180°+45°(k∈Z)

∴α＝k·180°+45°(k∈Z)．

9．一条弦的长等于半径，则这条弦所对的四周角的弧度数为　　[　　]

答：C

10．若1弧度的圆心角，所对的弦长等于2，则这圆心角所对的弧长等于　　　 [　　]

答：C

解：∵1弧度的圆心角所对的弧长等于半径，设半径为R，R·

11．已知函数y=sinx·cosx·tgx＞0，则x应是　  [　　]

A．x∈R且x≠2kπ(k∈Z)

B．x∈R且x≠kπ(k∈Z)

D．以上都不对

答：C

　　　 [　　]

A．0个

B．1个

C．2个

D．多于2个

答：C

13．锐角α终边上一点A的坐标为(2sin3，-2cos3)，则角α的弧度数为　  [　　]

A．3

C．-3

答：D

14．在△ABC中，下列函数值中可以是负值的是　[　　]

A．sinA

D．tgA

答：D

终边上，则有

A．sinα＜sinβ

B．sinα=sinβ

C．sinα＞sinβ

D．以上皆非

答：B

　　  [　　]

答：A

17．若tgθ+ctgθ=-2，则tgnθ+ctgnθ(n∈N)的值等于　　  [　　]

A．0

B．(-2)ⁿ

C．2(-1)ⁿ

D．-2(-1)ⁿ

答：C

18．已知：sinα+cosα=-1，则tgα+ctgα的值是

　　  [　　]

A．2

B．-1

C．1

D．不存在

答：D

解：∵ sinα+cosα=-1，两边平方得1+2sinαcosα=1 ∴sinαcosα=0 sinα=0或cosα=0，∴tgα、ctgα不存在．

　　　 [　　]

A．0°＜x＜45°

B．135°＜x＜225°

C．45°＜x＜225°

D．0°≤x≤45°或135°≤x≤180°．

答：D

解：∵要使等式成立，cos2x≥0　∴0°≤2x≤90°或270°≤2x＜360° ∴ 0°≤x≤45°域135°≤x＜180°．

　　  [　　]

A．｛α0＜α＜π｝

答：A

　　　 [　　]

A．0

B．-1

C．2

D．-2

答：D

　　  [　　]

A．第一象限或第四象限

B．第二象限或第三象限

C．X轴上

D．Y轴上

答：D

23．在△ABC中，若sin2A=sin2B则该三角形为

　　  [　　]

A．等腰三角形

B．等腰三角形或直角三角形

C．直三角形

D．等腰直角三角形

答：B

解：∵sin2A=sin2B，∴2A=2B，或2A=π-2B

24．若f(cosx)=cos2x，则f(sin15°)=　　 [　　]

答：D

　　  [　　]

A．等于零

B．小于零

C．大于零

D．可取任意实数值

答：C

∴y＞0．

　　  [　　]

答：A

27．cos1°+cos2°+cos3°+…+cos179°+cos180°的值是

　　  [　　]

A．0

B．1

C．-1

D．以上都不对

答：C

解：cos179°=cos(180°-1°)=-cos1．同理cos178°=-cos2°…

又∵cos90°=0，∴原式=cos180°=-1．

　　  [　　]

A．当α在第一、四象限时，取“+”号

B．当α在第二、四象限时，取“-”号

C．当α在第一、二象限时，取“+”号

D．当α在第二象限时，取“+”号

答：A

解：∵当α在第一象限时cscα＞0，tgα＞0　∴ 取“+”号，∵当α在第四象限时cscα＜0，tgα＜0，∴取“+”号．

　　  [　　]

A．｛-2，4｝

B．｛-2，0，4｝

C．｛-2，0，2，4｝

D．｛-4，-2，0，4｝

答：B

解：∵x在第一象限时，y=4，x在第二象限时，y=-2，x在第三象限时y=0，x在第四象限时y=-2，∴值域是｛-2，0，4｝．

二、填空题

30．终边落在坐标轴上的角的集合是____

解：终边在x轴上的角为x=Kπ(K∈Z)终边在y轴上的角x=kπ+

31．从5时到7时40分，分针旋转了____弧度，时针旋转了____弧度，如果分针长6cm，时针长4cm，分针比时针共走了____cm

32．一个扇形周长等于圆周长的一半，则扇形中心角的度数为____

34．自行车大链轮有48齿，小轮有20齿，当大链轮转过一周时，小轮转过角度是____度合____弧度．

答：(P-1)²

解：原式=p²+2p+1-4p=p²-2p+1=(p-1)²．

41．cos²5°+cos²15°+cos²25°+cos²35°+cos²45°+cos²55°+cos²65°+cos²75°+cos²85=____

解：∵cos²85°=sin²5°，cos²75°=sin²15°，cos²65°=

42．满足sinx=sin(-x)的x的范围是_____

答：2Kπ+π≤x≤2kπ+2π(k∈Z)

解：∵sinx=-sinx ∴ sinx≤0 2kπ+π≤x≤2kπ+2π(k∈Z)．

44．在△ABC中，若tgA·tgB·tgC＜0，那么这个三角形的形状是____

答：钝角三角形

解：∵A、B、C为三角形内角，tgA·tgB·tgC＜0，可以得出tgA、tgB、tgC中有一个小于零，若tgA＜0则A为钝角∴三角形为钝角三角形．

45．f(sinθ+cosθ)=sinθcosθ，则f(x)=____

三、解答题

46．写出与135°终边相同的角的集合，并从中求出终边位于-720°～720°之间的各角．

解：｛αα=k360°+135°，k∈Z｝，α=k360°+135°中K=-2时，α=-585°，k=-1，α=-225°；k=0，

α=135°；k=1，α=495°．

47．一条弦的长度等于半径r，试求该弦与劣弧所组成的弓形的面积．

48．12点以后在什么时候，时针与分针第一次重合？什么时候分针第一次在时针的反向延长线上？

51．已知tg²α=2tg²β+1，求证：sin²β=2sin²α-1

∴sin²β=2sin²α-1．

52．证明下列恒等式

证：(1)∵1-2csc²θ+cos⁴θ=(csc²θ-1)²=(ctg²θ)²=ctg⁴θ

∴1+csc⁴θ=2csc²θ+ctg⁴θ

53．求证：csc⁶β-ctg⁶β=1+3csc²βctg²β

证：csc⁶β-ctg⁶β=(csc²β-ctg²β)(csc⁴β+csc²βctg²β+ctg⁴β)=csc⁴β-2csc²βctg²β+ctg⁴β+3csc²βctg²β

=(csc²β-ctg²β)²+3csc²βctg²β=1+3csc²βctg²β．

55．已知：sin²Acsc²B+cos²Acos²C=1，求证：tg²Actg²B=sin²C

证：sin²Acsc²B+cos²Acos²C=1

sin²A(ctg²B+1)=1-cos²Acos²C

sin²Actg²B+sin²A=sin²C+cos²C-cos²Acos²C

sin²Actg²B=sin²C+cos²C(1-cos²A)-sin²A

sin²Actg²B=sin²C+cos²Csin²A-sin²A

sin²Actg²B=sin²C+sin²A(cos²C-1)

sin²Actg²B=sin²C-sin²Asin²C sin²Actg²B=sin²Ccos²A

∴tg²Actg²B=sin²C．