北大附中2001—2002学年高一下学期数学期末考试
2002年7月3日
邓军
班张:____________ 姓名:_________ 成绩:__________
一、选择题(下列各题只有一个选项是正确的,请把正确选项的序号填写在答题卡上对应的位置,每个小题3分,共14小题,计42分)
1.设A,B,C是△ABC的三个内角,且tgA,tgB是方程的两个实数根,那么△ABC是()
(A)钝角三角形(B)锐角三角形
(C)等腰直角三角形(D)等边三角形
2.已知α为锐角,,则cosα的值等于()
(A)(B)
(C)(D)
3.函数的最大值是()
(A)4(B)
(C)6(D)
4.将函数的图象作如下那种变换,才能得到函数的图象?()
(A)向右平移(B)向左平移
(C)向右平移(D)向左平移
5.函数在同一个周期内的图象是()
6.函数的最小正周期是()
(A)2π(B)π
(C)(D)
7.函数的值域是()
(A)(-4,0](B)[-4,0)
(C)[-4,0](D)[0,4]
8.圆台的侧面面积是它内切球表面积的倍,则圆台母线和底面所成的角的大小是()
(A)30°(B)45°
(C)60°(D)75°
9.圆锥侧面展开图是一个半径为12的半圆,则这个圆锥的内切球体积是()
(A)(B)
(C)(D)
10.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积为S,那么圆柱的体积为()
(A)(B)
(C)(D)
11.长方体的一个顶点上的三条棱分别为3,4,5,且它的八个顶点都在同一个球面上,这个球的表面积是()
(A)(B)
(C)50π(D)200π
12.圆锥的侧面积为8π,侧面展开图的圆心角是,则圆锥的体积为()
(A)(B)
(C)(D)
13.正四棱锥P-ABCD中,高PO的长是底面长的,且它的体积等于,则棱AB与侧面PCD之间的距离是()
(A)(B)
(C)(D)
14.在△ABC中,3sinA+4cosB=6,3cosA+4sinB=1,则角C的大小为()
(A)(B)
(C)或(D)或
二、填空题(请把你认为的正确答案填写在答题卡的对应项内,每小题3分,共12分)
15.函数的最大值是______最小值是________。
16.设f(x)是以5为周期的奇函数,f(-3)=1,又tgα=3,则
17.在棱长为2的正方体中,对角线在六个面上的射影长度总和为____
18.一个棱台两底面积分别为18和128,一个平行于两底的截面将棱台的高分为1:2的两部分,则此截面的面积为_______
三、解答题(需要写出详细的解题过程,共46分)
19.求cos55°·cos65°+cos65°·cos175°+cos55°·cos175°的值。
20.在△ABC中,a,b,c分别表示三个内角A,B,C的对边,如果满足条件,且A≠B,求证:△ABC是直角三角形。
21.如图,正三棱锥V-ABC的底面边长为a, 侧棱与底面所成的角等于θ,过底面一边作棱锥的截面,当截面与底面所成二面角为何值时,截面面积最小?并求出最小值。
22.如图,在直三棱柱中,,∠ACB=90°,E,F,G分别为AC,,AB的中点,(1)求证:平面EFG(2)求三棱锥的体积。
北大附中2001-2002学年高一下学期数学期末考试参考答案
一、选择题(每题3分共计42分)
1A 2A 3C 4C 5D 6C 7A 8C 9B
10D 11C 12A 13A 14A
二、填空题:(每题3分共计12分)
15. 0,-8
16.-1
17.
18.
三、解答题(共46分)
19.原式 和差化积 积化和差4分
整理2分
积化和差2分
结果2分
20.证:原式化为
整理2分
正整理2分
∵0<B<π,0·A<π ∴sinA≠0, sinB≠0
∴sinAcosA=sinBsinB. sin2A=sin2B 整理2分
sin2A-sin2B=0 和差化积2分
∴2cos(A+B)·sin(A-B)=0
∵A-B≠0 ∴sin(A-B) ≠0
∴cos(A+B)=0 整理2分
∴sinC=0
∴c=90°
∴△ABC是直角三角形 结果2分
21.解:作VO⊥平面ABC,O为垂足,因为V-ABC是正三棱锥,所以O为△ABC的中心,连结AO并延长交BC于D则AD⊥BC,∠DAO=θ连VD,Pθ
∴BC⊥VA ∴BC⊥平面VAD PDC平面VAD 证明4分
∴PD⊥BC ∴∠PDA为截面与底面所成角,设为x,在△PAD中,∠PAD=θ,∠PDA=x,∴∠APD=180°-(θ+π) 写出4分
根据连结定理
4分
当且仅当sin(θ+x)=1,θ+x=90°,x=90°-θ的等号成立,∴PD最小
∴最小面积
解法2 ∵截面△PBC中,BC=a为定值,∴,若是S最小,只须PD最小即可,
∵VA,BC为异面直线,∴当PD为异面直线VA,BC的公垂线时,PD最短。
∴当PD⊥BC,PD⊥VA时,PD最短,在Rt△APD中,∵
∴,∴
22.解:(1)E,F为△AB,AC中点,∴GE∥BC。
∵,∴,
∵平面GEF,平面GEF,
∴平面EFG 4分
(2)∵平面EFG,∴与到平面EFG的距离相等。 2分
∴ 2分
∵,,∴平面
∵ ∴GE⊥平面 2分
∵
2分
∴ 1分