函数的应用举例·例题解析
1．几何问题类
用函数思想解决几何(如平面几何、立体几何及解析析几何)问题，这是常常出现的数学本身的综合运用问题．
【例1】 如图2．9－1，一动点P自边长为1的正方形ABCD的顶点A出发，沿正方形的边界运动一周，再回到A点．若点P的路程为x，点P到顶点A的距离为y，求A、P两点间的距离y与点P的路程x之间的函数关系式．
解 (1)当点P在AB上，即0≤x≤1时，AP＝x，也就是y＝x．
(2)当点P在BC边上，即1＜x≤2时，AB=1，AB＋BP＝x，BP＝x－1，根据勾股定理，得AP2＝AB2＋BP2
(3)当点P在DC边上，即2＜x≤3时，AD＝1，DP＝3－x．根据勾股定理，得AP2=AD2＋DP2．
(4)当点P在AD边上，即3＜x≤4时，有y=AP＝4－x．
∴所求的函数关系式为
2．行程问题类
【例2】 已知，A、B两地相距150公里，某人开汽车以60公里/小时的速度从A地到达B地，在B地停留一小时后再以50公里/小时的速度返回A地，求汽车离开A地的距离x表示为时间t的函数．
解 根据题意：
(1)汽车由A到B行驶t小时所走的距离x=60t，(0≤t≤2.5)
(2)汽车在B地停留1小时，则B地到A地的距离x＝150(2.5＜x≤3.5)
(3)由B地返回A地，则B地到A地的距离x=150－50(t－3.5)＝325－50t(3.5＜x≤6.5)
3．工程设计问题类
工程设计问题是指运用数学知识对工程的定位、大小、采光等情况进行合理布局、计算的一类问题．
【例3】 要在墙上开一个上部为半圆，下部为矩形的窗户(如图2．9－2所示)，在窗框为定长l的条件下，要使窗户透光面积最大，窗户应具有怎样的尺寸？
解 设半圆的直径为x，矩形的高度为y，窗户透光面积为S，则
面积最大．
说明 应用二次函数解实际问题，关键是设好适当的一个变量，建立目标函数．
【例4】 要使火车安全行驶，按规定，铁道转弯处的圆弧半径不允许小于600米，如果某段铁路两端相距156米，弧所对的圆心角小于180°，试确定圆弧弓形的高所允许的取值范围．
解 设园的半径为R，圆弧弓形高CD=x(m)．
在Rt△BOD中，DB＝78，OD=B－x
∴(R－x)2＋782=R2
由题意知R≥600
得x2－1200x＋6084≥0(x＞0)，解得x≤5.1或x≥1194.9(舍)
∴圆弧弓形高的允许值范围是(0，5.1]．
4．营销问题类
这类问题是指在营销活动中，计算产品成本、利润(率)，确定销售价格．考虑销售活动的盈利、亏本等情况的一类问题．在营销问题中，应掌握有关计算公式：利润=销售价－进货价．
【例5】 将进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，若每件售价涨价0.5元，其销售量就减少10件．问应将售价定为多少时，才能使所赚利润最大，并求出这个最大利润．
解 设每件售价提高x元，则每件得利润(2＋x)元，每天销售量变为(200－20x)件，所获利润
y=(2＋x)(200－20x)
=－20(x－4)2＋720
当x=4时，即售价定为14元时，每天可获最大利润为720元．
5．单利问题类
单利是指本金到期后的利息不再加入本金计算．设本金为P元，每期利率为r，经过n期后，按单利计算的本利和公式为Sn=P(1＋nR)．
【例6】 某人于1996年6月15日存入银行1000元整存整取定期一年储蓄，月息为9‰，求到期的本利和为多少？
解 这里P=1000元，r=9‰，n＝12，由公式得S12＝P(1＋12r)＝1000×(1＋0.009×12)=1108元．
答 本利和为1108元．
6．复利问题类
复利是一种计算利率的方法，即把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息．设本金为P，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，则复利函数式为y=P(1＋r)x．
【例7】 某企业计划发行企业债券，每张债券现值500元，按年利率6.5％的复利计息，问多少年后每张债券一次偿还本利和1000元？(参考lg2=0.3010，lg1.065＝0.0274)．
解 设n年后每张债券一次偿还本利和1000元，由1000=500(1＋6.5％)n，解得n=lg2/lg1.065≈11．
答 11年后每张债券应一次偿还本利和1000元．
7．函数模型类
这个问题是指在问题中给出函数关系式，关系式中有的带有需确定的参数，这些参数需要根据问题的内容或性质来确定之后，然后使问题本身获解．
【例8】 某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件．为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产品的月产量y与月份数x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y=abx＋c(其中a、b、c为常数)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由．
解 设二次函数y1＝f(x)=px2＋qx＋x(p≠0)
∴y1=f(x)=－0.05x2＋0.35x＋0.7
f(4)=－0.05×16＋0.35×4＋0.7=1.3
又y=abx＋c
【例9】 有甲乙两种产品，生产这两种产品所能获得的利润依次
投入3万元资金生产甲、乙两种产品，为获得最大利润，对甲、乙两种产品的资金投入分别应为多少？最大利润是多少？
解 设投入甲产品资金为x万元，投入乙产品资金为(3－x)万元，总利润为y万元．
答 对甲、乙产品分别投资为0.75万元和2.25万元，获最大利润为
8．增长率(或降低率)问题类
这类问题主要是指工农业生产中计算增长率、产值等方面的一类计算题．
【例10】 某工厂1988年生产某种产品2万件，计划从1989年开始，每年的产量比上一年增长20％，问哪一年开始，这家工厂生产这种产品的年产量超过12万元(已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)
解 设过x年后，产量超过12万件．
则有2(1＋20％)x＞12
解得x＞9.84
答 从1998年开始年产量可超过12万件．
9．相关学科问题类
这类问题是指涉及相关学科(如物理、化学等)知识的一类数学问题．
【例11】 在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a1，a2，…，an，共n个数据，我们规定所测量的物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其它近似值比较，a与各数据差的平方和最小，依此规定，求从a1，a2，…，an推出的a值．
解 a应满足：y=(a－a1)2＋(a－a2)2＋…＋(a－an)2
此式表示以a为自变量的二次函数，
∵n＞0．
10．决策问题类
决策问题，是指根据已掌握的数据及有关信息，利用数学知识对某一事件进行分析、计算，从而作出正确决策的题．
【例12】 某厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12台和6台，现销售给A地10台，B地8台，已知从甲地调运一台至A地、B地的运费分别为400元和800元，从乙地调运一台至A地、B地的运费分别为300元和500元．
(1)设从乙要调x台至A地，求总运费y关于x轴的函数关系式．
(2)若总运费不超过9000元，问共有几种调运方案？
(3)求出总运费最低的调运方案及最低的运费．
解 (1)y=300x＋500(6－x)＋400(10－x)＋800[12－(10－x)]=200(x＋43)(0≤x≤6，x∈N)
(2)当x=0，1，2时，y≤9000，故共有三种方案，总运费不超过9000元．
(3)在(1)中，当x＝0时，总运费最低，调运方案为：乙地6台全调B地，甲地调2台至B地，10台至A地，这时，总运费y＝8600元．