函数·典型例题分析
例1 与函数y=x表示相同函数的是 [ ]
则、值域不同，排除C．而
评注 判断两个函数是否相同，要看函数的三要素：定义域，值域，对应法则．其中对应法则不能仅仅从解析式上考虑，要分析其对应法则的本质．
例2 求下列函数的定义域
(5)设f(x)的定义域为[0，2]，求函数f(x+a)+f(x-a)(a＞0)的定义域．
∴定义域是空集，函数是虚设的函数
(2)由函数式可得
∴函数的定义域是{xx=-1}，定义域是一个孤立的点(-1，0)的横坐标
(3)∵x2-4≠0
∴x≠±2
∴函数定义域为(-∞，-2)∪(-2，+2)∪(2，+∞)
(4)从函数式可知，x应满足的条件为
∴函数的定义域为
(5)∵f(x)定义域为[0，2]
所以f(x+a)+f(x-a)中x应满足
又∵a＞0，若2-a≥a，则a≤1
即0＜a≤1时，f(x+a)+f(x-a)的定义域为{xa≤x≤2-a}
当a＞1时，x∈Æ
评注 求f(x)的定义域就是求使函数f(x)有意义的x的取值范围，定义域表示法有：不等式法，集合法，区间表示法等．
例3 求下列函数的值域
解 (1)由原式可化为
(2)将函数变形，整理可得：
2yx2-4yx+3y-5=0
当y=0时，-5=0不可能，故y≠0
∵x∈R
∴Δ=(-4y)2-4×2y×(3y-5)≥0
即y(y-5)≤0解得0≤y≤5
而y≠0
∴0＜y≤5
故函数值域为(0，5]
此二次函数对称轴为t=-1
评注 求函数值域方法很多，此例仅以三个方面给出例子．学习时要分析函数式的结构特征，从而确定较简单的求值域的方法．
例4 (1)已知f(x)=x2，g(x)为一次函数，且y随x值增大而增大．若
f[g(x)]=4x2-20x+25，求g(x)的解析式
解 (1)∵g(x)为一次函数，且y随x值增大而增大
故可设g(x)=ax+b(a＞0)
∵f[g(x)]=4x2-20x+25
∴(ax+b)2=4x2-20x+25
即：a2x2+2abx+b2=4x2-20+25
解得 a=2，b=-5
故g(x)=2x-5
于是有t的象是t2-1，即f(t)=t2-1(t≥1)
故f(x)=x2-1(x≥1)
∴f(x+1)=(x+1)2-1=x2+2x(x≥0)
f(x2)=x4-1(x≤-1或x≥1)
评注 对于(1)是用待定系数法求函数的解析式，要根据题意设出函数的形式，再利用恒等式的性质解之．求函数解析式的常用方法还有拼凑法，代换法(如(2))，解方程组等．
例5 如图1-7，灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽及两边坡总长度为a，边坡的倾角为60°．
(1)求横断面积y与底宽x的函数关系式；
评注 本题是有关函数的实际问题，其方法是把实际问题用数学的形式表示出来，建立变量之间的函数关系．
例6 设x≥0时，f(x)=2，x＜0时，f(x)=1又
解 当0＜x＜1时，x-1＜0，x-2＜0
当1≤x＜2时，x-1≥0，x-2＜0
当x≥2时，
g(x)=2
评注 分段函数关键是在x的不同条件下计算方法不同，不要认为是三个不同函数．