含绝对值的不等式解法·典型例题
能力素质
例1 不等式8－3x＞0的解集是
[ ]
答 选C．
例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是
[ ]
A．3 B．2
C．－2 D．－5
分析 列出不等式．
解 根据题意得2＜x≤5．
从而－5≤x＜－2或2＜x≤5，其中最小整数为－5，
答 选D．
例3 不等式4＜1－3x≤7的解集为________．
分析 利用所学知识对不等式实施同解变形．
解 原不等式可化为4＜3x－1≤7，即4＜3x－1≤7或－7
例4 已知集合A＝{x2＜6－2x＜5，x∈N}，求A．
分析 转化为解绝对值不等式．
解 ∵2＜6－2x＜5可化为
2＜2x－6＜5
因为x∈N，所以A＝{0，1，5}．
说明：注意元素的限制条件．
例5 实数a，b满足ab＜0，那么
[ ]
A．a－b＜a＋b
B．a＋b＞a－b
C．a＋b＜a－b
D．a－b＜a＋b
分析 根据符号法则及绝对值的意义．
解 ∵a、b异号，
∴ a＋b＜a－b．
答 选C．
例6 设不等式x－a＜b的解集为{x－1＜x＜2}，则a，b的值为
[ ]
A．a＝1，b＝3
B．a＝－1，b＝3
C．a＝－1，b＝－3
分析 解不等式后比较区间的端点．
解 由题意知，b＞0，原不等式的解集为{xa－b＜x＜a＋b}，由于解集又为{x－1＜x＜2}所以比较可得．
答 选D．
说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组．
例7 解关于x的不等式2x－1＜2m－1(m∈R)
分析 分类讨论．
x＜m．
{x1－m＜x＜m}．
说明：分类讨论时要预先确定分类的标准．
点击思维
分析 一般地说，可以移项后变形求解，但注意到分母是正数，所以能直接去分母．
解 注意到分母x＋2＞0，所以原不等式转化为2(3－x)≥x＋2，整理得
说明：分式不等式常常可以先判定一下
分子或者分母的符号，使过程简便．
例9 解不等式6－2x＋1＞1．
分析 以通过变形化简，把该不等式化归为ax＋b＜c或ax＋b＞c型的不等式来解．
解 事实上原不等式可化为
6－2x＋1＞1
①
或 6－2x＋1＜－1
②
由①得2x＋1＜5，解之得－3＜x＜2；
由②得2x＋1＞7，解之得x＞3或x＜－4．
从而得到原不等式的解集为{xx＜－4或－3＜x＜2或x＞3}．
说明：本题需要多次使用绝对值不等式的解题理论．
例10 已知关于x的不等式x＋2＋x－3＜a的解集是非空集合，则实数a的取值范围是________．
分析 可以根据对x＋2＋x－3的意义的不同理解，获得多种方法．
解法一 当x≤－2时，不等式化为－x－2－x＋3＜a即－2x＋1＜a有解，而－2x＋1≥5，
∴a＞5．
当－2＜x≤3时，不等式化为x＋2－x＋3＜a即a＞5．
当x＞3是，不等式化为x＋2＋x－3＜a即2x－1＜a有解，而2x－1＞5，∴a＞5．
综上所述：a＞5时不等式有解，从而解集非空．
解法二 x＋2＋x－3表示数轴上的点到表示－2和3的两点的距离之和，显然最小值为3－(－2)＝5．故可求a的取值范围为a＞5．
解法三 利用m＋n＞m±n得
x＋2＋x－3≥(x＋2)－(x－3)＝5．
所以a＞5时不等式有解．
说明：通过多种解法锻炼思维的发散性．
例11 解不等式x＋1＞2－x．
分析一 对2－x的取值分类讨论解之．
解法一 原不等式等价于：
由②得x＞2．
分析二 利用绝对值的定义对x＋1进行分类讨论解之．
解法二 因为
原不等式等价于：
学科渗透
例12 解不等式x－5－2x＋3＜1．
分析 设法去掉绝对值是主要解题策略，可以根据绝对值的意义分
－(x－5)＋(2x＋3)＜1，得x＜－7，所以x＜－7；
－(x－5)－(2x＋3)＜1，
当x＞5时，原不等式可化为
x－5－(2x＋3)＜1，
解之得x＞－9，所以x＞5．
说明：在含有绝对值的不等式中，“去绝对值”是基本策略．
例13 解不等式2x－1＞2x－3．
分析 本题也可采取前一题的方法：采取用零点分区间讨论去掉绝
之，则更显得流畅，简捷．
解 原不等式同解于
(2x－1)2＞(2x－3)2，
即4x2－4x＋1＞4x2－12x＋9，
即8x＞8，得x＞1．
所以原不等式的解集为{xx＞1}．
说明：本题中，如果把2x当作数轴上的动坐标，则2x－1＞2x－3表示2x到1的距离大于2x到3的距离，则2x应当在2的右边，从而2x＞2即x＞1．
