2．4　反函数·例题解析

【例1】求下列函数的反函数：

解　(2)∵y＝(x－1)²＋2，x∈(－∞，0]其值域为y∈[2，＋∞)，

【例2】求出下列函数的反函数，并画出原函数和其反函数的图像．

解　(1)∵已知函数的定义域是x≥1，∴值域为y≥－1，

解　(2)由y＝－3x²－2(x≤0)得值域y≤－2，

它们的图像如图2．4－2所示．

(1)求它的反函数；(2)求使f^-1(x)＝f(x)的实数a的值．

令x＝0，∴a＝－3．

或解  由f(x)＝f^-1(x)，那么函数f(x)与f^-1(x)的定义域和值域相同，定义域是{xx≠a，x∈R}，值域y∈{yy≠3，y∈R}，∴－a＝3即a＝－3．

试求a、b、c、d满足什么条件时，它的反函数仍是自身．

令x＝0，得－a＝d，即a＋d＝0．

事实上，当a＋d＝0时，必有f^-1(x)＝f(x)，

因此所求的条件是bc－ad≠0，且a＋d＝0．

【例5】设点M(1，2)既在函数f(x)＝ax²＋b(x≥0)的图像上，又在它的反函数图像上，(1)求f^-1(x)，(2)证明f^-1(x)在其定义域内是减函数．

解法(二)　由函数y＝f(x)与其反函数y＝f^-1(x)之间的一一对应关

因为原函数的图像与其反函数的图像关于直线y＝x对称，

∴函数y＝f(x)的图像关于直线y＝x对称．