高一数学函数的应用举例练习

【同步达纲练习】

一、选择题

1.如下左图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱桶中，开始时漏斗盛满液体，经过3分钟漏完.已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间t(分)的函数关系表示的图像只可能是如下右图中所示的(　　)

　　

2.某城市出租汽车统一价格，凡上车起行价6元，行程不超过2km者均按此价收费；行程超过2km时，按每≈556m加收1元(相当于每km1.8元)，另外，遇到塞车或等候时，汽车虽没有行驶，仍按每6分种折算1km，折算的路程与行驶路程合并收费，并且不足556m的余数也加收1元.陈先生坐了一趟这种出租汽车，车费17元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程介于(　　).

A.7～9km　　　　　　　　B.9～11km　　　　　 C.5～7km　　　　　　D.3～5km

3.某债券市场发行三种债券，A种面值为100元，一年到期本息和为103元；B种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元.作为购买者，分析这三种债券的收益，从小到大排列为(　　)

A.B，A，C　　　　　 B.A，C，B　　　　　 C.A，B，C　　　 D.C，A，B

4.从盛满20升纯酒精的容器里倒出一升，然后用水填满，再倒出一升混合溶液后又用水填满，这样继续进行，如果倒第k(k≥1)次时共倒出纯酒精x升，倒第k+1次时共倒出纯酒精f(x)升，则f(x)的函数表达式为(　　)

A.f(x)= x　　　　　　　　　　B.f(x)=  x+1

C.f(x)= 　　　　　　　　　　 D.f(x)=  +1

5.将进货单价为80元的商品400个，按90元一个售出时能全部卖出，已知这种商品每个涨价1元，其销售数就减少了20个，为了获得最大利润，售价应定为每(　　)元.

A.110　　　　　 B.105　　　　　 C.100　　　　　 D.95

6.某学校制定奖励条例，对在教育数学中取得优异成绩的教职工实行奖励，其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的.奖励公式为：f(n)=k(n)(n-10),n＞10(其中n是任课教师所任班级学生参加高考该任课教师所任学科的平均成绩与该科省均分之差，f(n)的单位为元)，而k(n)=，现有甲、乙两位数学任课教师，甲所教的学生高考数学均分超出省均为18分.而乙所教的学生高考数学均分超出省均分21分.则乙所得奖励比甲所得奖励多(　　)

A.600元　　　　 B.900元　　　　 C.1600元　　　　　　D.1700元

7.根据统计资料，我国能源生产自1986年以来发展很快，下面是我国能源生产总量(折合亿吨标准煤)的几个统计数据：1986年8.6亿吨，5年后的1991年10.4亿吨，10年后的1996年12.9亿吨.有关专家预测，到2001年我国能源生产总量将达到16.1亿吨，则专家是选择下列哪一类型函数作为模型进行预测的(　　)

A.一次函数　　　B.二次函数　　　C.指数函数　　　　　D.对数函数

二、填空题

1.已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地，在B地停留一小时后再以50千米/小时的速度返回A地，汽车离开A地的距离x随时间t变化的关系式是　　　　 .

2.按复利计算利率的储蓄，存入银行2万元，年息8％，5年后支取，可得利息为人民币

　　　　元(精确到分)

3.建造一个容积为8m³，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为　　　　　 元.

4.某服装厂生产某种大衣，月销销量x(件)与货价P(元/件)之间的关系为P=160-2x，生产x件的成本R=500+30x元.则该厂月产量在　　　　　 时，月获利不少于1300元.

5.现在含盐7%的食盐水200克，要将它制成工业生产上需要的含盐在5％以上且在6％以下(不含5％和6％)的食盐水，设需要加入4％的食盐水x克，则x的取值范围是　　　　　　  .

6.某类产品按质量可分10个档次，生产最低档次(第1档次为最低档次，第10档次为最高档次)，每件利润为8元，如果产品每提高一个档次，则利润增加2元.用同样的工时，最低档次产品每天可生产60件，提高一个档次将减少3件产品，则生产第　　　　　 档次的产品，所获利润最大.

7.如下图开始时桶1中有a升水，t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y₁=ae^-nt，那么桶2中水就是y₂=a-ae^-nt.假设过5分钟时桶1和桶2的水相等，则再过　　　　　 分钟桶1中的水只有.

三、解答题

1.某家报刊摊点从报社买进某种报纸的价格是每份0.12元，卖出的价格是每份0.20元，卖不掉的报纸还可以每份0.04元的价格退回报社，在一个月(30天)里，有20天每天可以卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，设每天从报社买进报纸份数相同，这家报刊摊点每天从报社买进多少份才能使每月所获利润最大?最大利润是多少元?

2.某地区心脏病人数呈上升趋势，经统计分析，从1989年到1998年的10年间每两年上升2％，1997年和1998年两年共发病900人，若不加控制，仍按这个比例发展下去，从1999年到2002年将有多少人发病?

3.当商品进货单价为45元，按50元一个销售，能卖出50个，如果销售单价每涨一元，销售数就减少2个，为了获取最大利润，此商品的最佳售价应定为每个多少元?

4.有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得利润依次为Q₁万元和Q₂万元，它们与投入资金x(万元)的关系分别是Q₁=x，Q₂=.今有3万元资金投入经营这两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为多少?

【素质优化训练】

1.某村1990年底共有人口1000人，全年工农业总产值2000万元，假设从1991年起的10年内该村每年的总产值增加50万元，人口每年净增k个(其中k为正整数常数).设从1991年起的第x年(1991年为第1年)该村的人均产值为y(万元).

(1)试写出y与x之间的函数关系式；

(2)要使该村的人均产值年年都有增长，那么该村生年人口的净增量不能超过多少人?

2.某公司将一批不易存放的水果，紧急从甲地运往乙地，现有汽车、火车、直升飞机三种运输工具可供选择.已知汽车、火车、直升飞机所走的路程分别是3S千米、2S千米、S千米(S＞50)，三种运输工具的主要参考数据如下表格所示.若这批水果在运输过程(含装卸时间)中的损耗为300元/小时.问采用哪种运输工具比较好?(约定当运输过程中的费用与损耗之和最小时比较好)

三种运输工具的主要参考数据表

运输工具	途中速度 (千米/小时)	途中费用 (元/千米)	装卸时间 (小时)	装卸费用 (元)
汽车	50	8	2	100
火车	100	4	4	200
飞机	400	16	2	1000

3.为了适应国民经济的发展需要，某市政府决下进行经济结构调整，加快发展第三产业.已知该市现有第二产业从业人员100万人，平均每人全年可创造产值a万元，现欲从中分流出x万人去从事第三产业，假设分流后继续从事第二产业的人员平均每人全年创造产值大约可增加2x%，而分流出的从事第三产业的人员，平均每人全年可创造产值ab万元(a,b均为正常数，0＜x＜100).

(1)在保证该市第二产业的产值不能减少的情况下，求x的取值范围.

(2)在(1)的条件下，当该市第二、三产业的总产值增加最多时，求x的值.

【生活实际运用】

两个农妇同在某集贸市场上卖鸡蛋，她们批发回来的鸡蛋有两种：一种是直接从农村收购的鸡蛋，不妨叫“土”鸡蛋；一种是从大型养鸡场收购来的鸡蛋，不妨叫“洋”鸡蛋，土鸡蛋每两个卖1元钱，洋鸡蛋每3个卖1元钱.

一天，甲农妇有事外出，临时将30个土鸡蛋交给乙农妇代卖，乙为了省事，将自己的30个洋鸡蛋与土鸡蛋混合后，按5个鸡蛋两元钱的价格进行出售，买完后，结果得到24元钱.算账时，乙付给甲15元后，自己只剩下9元钱，她想，我30个洋鸡蛋混进土鸡蛋后，不仅没有占便宜，反而还差1元钱，这是怎么回事呢?请你帮忙找找原因.

【知识验证实验】

材料：

某平原镇有A、B、C、D四间工厂坐落在边长为2km的正方形顶点上，为了交通畅顺，繁荣经济，镇政府决定建立一个使得任何两间工厂都有通道的道路网.

(1)请你设计一个道路网，使它的总长不超过5.5km；

(2)请你设计一个总长度最短的道路网.

方法提供：

这是一道策略开放题，要探索各种可行的方案，然后逐一比较、取舍，逐渐逼近题目的指标.

(1)若沿正方形边界修建道路网，总长8km，远远大于指标，不合要求；若沿正方形的对角线修建道路网，总长为4km，向指标逼近了一步，但仍不合要求.

由于正方形的对称性，过它的中心O，作EF∥AB，建一条公共道路EF，设OE=OF=x(如下图所示)，则道路网总长度为

y=2x+4，　　　　  (*)

依题要求有

2x+4≤5.5，

即48x²-40x+7≤0，

解得　≤x≤.

由此可知，当公共道路长km≤EF≤km，有无数种方案满足要求.

(2)为了求函数的最小值，把(*)化为x的方程

12x²+4(y-8)x+32-y²=0.

∵x∈R⁺，

∴△=16(y-8)²-4×12×(32-y²)≥0，

即y²-4y-8≥0y≥2+2≈5.4642，此时x=-=1-≈0.42265.

故当公共道路长为0.8453km时，道路网总长最短，为5.4642km.

参考答案：

【同步达纲练习】

一、1.B　2.C  3.B　4.B　5.D  6.D　7.B

二、1. 2.9386.56　  3.1760　　4.20～45　　5.(100，400)　  6.9　　7.15

三、1.每天从报社买进400份可获最大利润，最大利润为720元　　

2.1854　　3.60元　　4.对甲、乙商品分别投入资金0.75万元和2.25万元.

【素质优化训练】

1.解：(1)y=,1≤x≤10.　(2)24.

2.解：用M、N、P分别表示汽车、火车、飞机运输时的总支出

M=(+2)300+24S+1000=42S+1600，

N=(+4)300+8S+2000=14S+3200，

P=(+2)300+16S+1000=16.75S+1600.

∵S＞0，显然有M＞P.

①当N＞P，即N-P=-2.75S+1600＞0，S＜.

也即50＜S＜时，选择飞机较好.

②当P＞N，即P-N=2.75S-1600＞0，S＞时，选择火车较好.

③当P=N，即S=时，选择飞机或火车都可以.

3.解：(1)由题意得(100-x)·a(1+2x%)≥100a.

∵a＞0，x＞0,∴0＜x≤50.

(2)设该市第二、三产业总产值增加f(x)万元，则

f(x)=(100-x)·a(1+2x％)+abx-100a，

即　　f(x)=-0.02a［x²-50(1+b)x］.

∵a＞0，b＞0，∴0＜x≤50.

∴当25(1+b)＞50，即b＞1，且x=50时，f(x)最大；当25(1+b)≤50，即0＜b≤1，且x=25(1+b)时，f(x)最大.

【答】　若0＜b≤1，则x=25(1+b)时，该市第二、三产业的总产值增加最多；或b＞1，则x=50时，该市第二、三产业的总产值增加最多.

【生活实际运用】

解：这类商品搭配销售问题在市场上经常出现，如不同等级的水果的混合、瓜子的混合、糖果的混合等，如何搭配商家赢利，如何搭配又商家吃亏呢?下面给出此题的解释.

假设价格较高的甲种商品有a千克，买b元，即单价为元/千克；价格较低的乙种商品有c千克，卖d元，即单价为元/千克，显然＞.为市便计，今取甲、乙两种商品相同的数量进行混合来研究，并以平均价 (+)元/千克进行出售.注意：若未进行搭配销售的正常价格应是元/千克(即a+c千克商品卖b+d元).

两种销售方式的价格差为

△=- (+)

=

=·(-1).(*)

∵a,b,c,d∈R⁺，

＞=-＞0，

∴只须讨论-1的值与0的大小就行了.