杭州市第八届“求是杯”中学生数学竞赛
高二年级试题卷
(时间:96年4月7日上午8:30～10:30)
一、选择题（每小题3分，共30分）
1、已知
,那么
的值等于
(A)
(B)
(C)
(D)
2、若无穷递缩等比数列中的任何一项都等于该项以后所有项的和，那么此等比数列的公比是（ ）
(A)
(B)
(C)
(D)
3、在
上与
相同的函数是
(A)
(B)
(C)
(D)
4、银行三年定期的利率为
，一年定期的利率为
，一年后取出将本息再存入一年定期，这样三年后取出的本息与存三年定期取出的本息相比较，还是一年一年的存合适，那么值应小于
(A)
(B) 
(C)
(D)
5、若
,那么下列各式成立的是
(A)
(B)
(C)
(D)
6、函数
满足
,且
,那么
与
的大小关系是
(A)
(B)
(C)
(D)大小随
在不同的区间而纰改变
7、在等差数列
中，它的前
项和记作
,若
那么
的最大值为
(A)
(B)
(C)
(D)
8、半径为4的球面上有三点A、B、C，若其中任意两点的球面距离均为
，那么过A、B、C三点的截面圆将球面分成较大的球冠和较小的球冠的面积之比为
(A)
(B)
(C)
(D)
9、已知
是定义域为R的偶函数，若的最小正周期是2，且当
时=
,那么在[0,1]上的表达式是
(A)
(B)
(C)
(D)
10、一个长方体的表面积是
，体积是
，那么这样的长方体
(A)有一个 (B)有两个 (C)有无数多个 (D)不存在
二、填空题（每小题4分，共40分）
11、P、Q、R是棱长为1 的正方体
的棱
上的点，且有
,那么四面体
的体积是________.
12、在等差数列中，已知
,且前
项和=155那么=_______.
13、已知
,那么
的值是_______.
14、正四面体的棱长为a，那么其内切球的全面积为________.
15、已知两个等差数列
和
中,若
,那么
=_______.
16、已知函数的图象与
的图象关于直线
对称，那么函数
的单调递增区间是_____________.
17、已知
,且
,那么
________.
18、空间三条射线OA、OB、OC满足
,那么以OA为棱的二面角B-OA-C的余弦值为_____.
19、已知
,那么
的最大值为______.
20、已知
且
,那么不等式
的解集是________.
三、解答题（前两小题15分，后一小题20分，共50分）
21、已知ABCD为正四面体，P,Q分别为它的二个面ABC与ACD内的任意二个点(如图)，试证：
A
 | |||
| |||
22、已知四次方程
的四个实根中有二个根之积等于
，求
的值。
23、设有函数列
,
,……,
,……,求方程
的一切实数解。