华中师大一附中2003年高一新生入学摸底测试
数 学 试 题
满分：150分 限时：120分钟 命题人：黄松生 2003.9.4
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填在答题卡上.
1.在同一直角坐标系内，如果正比例函数y=mx与反比例函数y=
的图象没有交点，那么m与p的关系一定是
A．m<0,p>0 B.m>0,p>0 C.mp<0 D.mp>0
2．在半径为5cm的圆中，弦AB∥CD，AB=6cm,CD=8cm，则AB和CD的距离是 A．7cm B.1cm C.5cm D.7cm或1cm
3．若点P(-1-2a,2a-4)关于原点对称的点在第一象限内，则a的整数解有
A．1个 B.2个 C.3个 D.4个
4．已知两圆半径分别为R和r(R>r)，圆心距为d，且d2+R2-r2=2dR，那么两圆位置关系为
A．外切 B.内切 C.外离 D.外切或内切
5．已知x为实数，化简
的结果为
A．
B．
C．
D．
6．已知关于x的方程2x2+x+m+
=0有两个不相等的负实根，则m的取值范围是
A．
B.
C.
D.
7．若α为直角三角形的一个锐角，则
等于
A．1–sinα–cosα B.1+sinα+cosα
C.0 D.sinα+cosα-1
8．已知点（-2,y1)、(-5
,y2)、(1
,y3）在函数y=2x2+8x+7的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是
A．y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y2>y3>y1 D.y3>y2>y1
9.已知sinα·cosα=
,且0°<α<45°，则cosα-sinα的值为
A．
B.
C.
D.
10.在直角坐标系中，已知点A(-2,0),B(0,4),C(0,3),过点C作直线交x轴于点D，使得以D、O、C为顶点的三角形与△AOB相似，这样的直线至多可以作
A．2条 B.3条 C.4条 D.6条
11.如图所示，已知扇形AOB的半径为12，OA⊥OB，C为OB上一点，
以OA为直径的半圆O1和以BC为直径的半圆O2相切于D，则图中阴影
部分的面积为
A．6π B.10π
C.12π D.20π
12．已知一元二次方程ax2+bx+c=0的两根之和为p，两根平方和为q，两根立方和为r，则ar+bq+cp的值是
Ａ.-1 B.0 C.1 D.2
第Ｉ卷答题卡
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 |
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.
13.如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，
AB、CD
的延长线交于E点，已知AB=2DE，
∠E=18°，则∠AOC的度数为__________.
14.如图，已知AB是⊙O的直径，BC是和⊙O相切于B
的切线，⊙O的弦AD平行于OC，若OA=2且AD+OC=6，
则CD=___________.
15.若规定两数a,b通过运算得4ab，即a*b=4ab，若x*x+2*x-2*4=0，则x=__________.
16．某县位于沙漠边缘地带，治理沙漠，绿化家乡是全县人民的共同愿望.到1998年底，全县沙漠的绿化率已达30%，此后，政府计划在近几年内，每年将当年年初未被绿化的沙漠面积的m%栽上树进行绿化，到2000年底，全县的沙漠绿化率已达到43.3%，则m的值等于_____________.
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）如图，已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：
（1）AD=AE
（2）PC·CE=PA·BE
18．（本小题满分12分）已知
（a>b>0)是方程x2-5x+2=0的两个实根，求
的值.
19. （本小题满分12分）如图，△ABC中，AB=5，BC=6，BD=BC，AD⊥BC于D，E为AB延长线上的一点，且EC交AD的延长线于F.
(1)设BE为x，DF为y，试用x的式子表示y.
(2)当∠ACE=90°时，求此时x的值.
20. （本小题满分12分）通过电脑拨号上“因特网”的费用是由电话费和上网费两部分组成.以前我市通过“武汉热线”上“因特网”的费用为电话费0.18元/3分钟，上网费为7.2元/小时，后根据信息产业部调整“因特网”资费的要求，自1999年3月1日起，我市上”因特网“的费用调整为电话费0.22元/3分钟.上网费为每月不超过60小时，按4元/小时计算；超过60小时部分，按8元/小时计算.
(1)根据调整后的规定，将每月上“因特网”的费用y（元）表示为上网时间x（小时）的函数；
（2）资费调整前，网民聪聪在其家庭经济预算中，一直有一笔每月70小时的上网费用支出.“因特网”资费调整后，聪聪要想不超过其家庭经济预算中的上网费用支出，他现在每月至多可上网多少小时？
（3）从资费调整前后的角度分析，比较我市网民上网费用的支出情况.
21. （本小题满分12分）在直角坐标系xoy中，一次函数
的图像与x轴、y轴分别交于点B和点A，点C的坐标是（0，1），点D在y轴上且满足∠BCD=∠ABD.求D点的坐标.
 |
22. （本小题满分14分）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且当x=0和x=2时，y的值相等.直线y=3x-7与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是4，另一点是这条抛物线的顶点M.
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）P为线段BM上一点，过点P向x轴引垂线，垂足为Q.若点P在线段BM上运动（点P不与点B、M重合），设OQ的长为t，四边形PQAC的面积为S.求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；
（3）在线段BM上是否存在点N，使△NMC是等腰三角形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
数学试题参考答案
一、选择题
1．C 2.D 3.B 4.D 5.C 6.B 7.D 8.C 9.A
10.C 11.B 12.B
二、填空题
13．54° 14.
15.2或-4 16.10
三、解答题
17．证：（1）连AC、BC，∵PC是⊙O的切线，∴∠ABC=∠ACD，又∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°.又∵CE⊥AB.∴∠ABC=∠ACE,∴∠ACE=∠ACD，又AD⊥PC，AC公共边.
∴Rt△ACE≌Rt△ACD,∴CD=CE ，AD=AE.…………………………………………………（6分）
(2)在Rt△PCE和Rt△PAD中，∠CPE=∠APD，∴Rt△PCE∽Rt△PAD,∴
.又∵∠ABC=∠ACD，∴Rt△EBC∽Rt△DCA,∴
,∴
.
∴
.…………………………………………………………………（12分）
18.解：∵是方程
的两实根，∴
.…………………………（4分）∴原式=
=
……………………………………………………………（12分）
19．解：（1）过
作
∥
交
EC于
，则△
∽△
，∴
.…………………………………………………（3分）
△
中，可得
，又∵△
∽△
，∴
………………………………………………………（6分）
(2)当∠
=90°时，则有∠
∠
，∴△
∽△，
∴
，∴
，∴16=
.…………（10分）
代入
,有
,解得
.………………………………………………………（12分）
20.(1)
………………………………………………（4分）
(2)资费调整前，上网70小时所需费用为(3.6+7.2)×70=756元.资费调整后，若上网60小时，则所需费用为8.4×60=504（元）.∵756>504,∴聪聪现在上网时间超过60小时.由
，解得
.∴聪聪现在每月至多可上网约80.32小时.（7分）
（3）设调整前所需费用为
（元）；调整后所需费用为
（元），则
当
时,
，故
.当
时，
当
时，
；当时,
；当
时，
…………………………………………（11分）
综上可得：当时，调整后所需费用少；
当
时，调整前后所需费用相同；
当
时，调整前所需费用少.………………………………………………（12分）
21.解：∵
、是直线与
轴、
轴的交点，令
,解得
,∴
，令
，解得
.由勾股定理，
.…………（2分）
（1）若
点在
点上方时，则∠
为钝角，∵∠
∠，又∠
=∠
，∴△∽△，∴
，设
,则
,∵
,解得
或
（舍去），∴点的坐标为（0，
）……………………………（6分）
（2）若点在
之间时，则∠为锐角，∵∠=∠，又∠
=∠
，∴△∽△
，
，设,则-3<<1，又
，整理得
,解得
或
（舍去），∴点坐标为（0，-）…………………………（10分）
（3）若点在点下方时，有∠
∠
∠>∠,又显然
∠
<∠,∴点在点下方是不可能的.…………………………………（11分）
综上所述，点的坐标为（0，）或（0，-）……………………………（12分）
22. (1)设这条抛物线的解析式为
和
时,的值相等，∴
,由抛物线的对称性，可知
是这条抛物线的对称轴.又
与
交于两点，且其中一点的横坐标为4，另一点是抛物线的顶点
.∴点的坐标为
，直线与抛物线的另一交点为（4，5).∴
解得
∴这条抛物线的解析式为
…………………………（4分）
（2）当时，即
当时，
∴
设直线
的解析式为
∴
,
∴直线的解析式为
∵
轴于点
,又点
在线段
上，
=6-2t
△AOC+
=
(3+6-2
………………………………………………………………………………………………（8分）
（3）假设存在这样的点
，使△
为等腰三角形.∵点在上，不妨设点坐标为
则
△为等腰三角形，有以下三种可能：
①若
，则
（舍去）.
∴
②若
则
∵
（舍去）.∴
③若
,则
解得
∴
…………………………………………………………………………（13分）
综上所述，存在这样的点，使△为等腰三角形.
且点的坐标分别为
……（14分）