高二理科数学下学期检测卷()
姓名 班级 成绩
一、选择题（5×12）
1. 已知命题：“直线a上的两个点A，B在平面α内。”与它不等价的命题是
A．直线a在平面α内 B．平面α通过直线
C．直线a上只有两点在平面α内 D．直线a上的所有点都在平面α内
2. 平面
平面
的一个充分条件是
A．存在一条直线
∥
∥
B．存在一条直线
C．存在两条平行直线
D．存在两条异面直线
∥
∥
3. 已知
A．90° B．30° C．60° D．150°
4. 如图，ABCD-A1B
A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1 D．异面直线AD与CB1角为60°
5. 已知
，
为两条不同的直线，
，为两个不同的平面，
则下列命题中正确的是A．
B． 
C．
D． 
6. 正方体ABCD-A1B
A．1 B．
C．
D．
7. 若P是两条异面直线
外的任意一点，则
A．过点P有且仅有一条直线与都平行 B．过点P有且仅有一条直线与都垂直
C．过点P有且仅有一条直线与都相交 D．过点P有且仅有一条直线与都异面
8. 平面外有两条直线和，如果和在平面内的射影分别是
和
，给出下列四个命题：
①⊥
⊥； ②⊥⊥；③与相交与相交或重合； ④与平行与平行或重合；其中不正确的命题个数是A.1
B.2
C.3
D.4
9. 若一个长方体共点的三个表面的对角线长分别为a、b、c ，则长方体的对角线长是
A．
B．
C．
D．
10. 如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，
AB与两平面α、β所成的角分别为和，过A、B分别作两平
面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB∶
＝
A.2∶1 B.3∶1
C.3∶2 D.4∶3
11. 已知二面角
的大小为
，
为异面直线，且
，则所成的角为
A.
B.
C.
D.
12. 在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是
C. 平面PDF⊥平面ABC D. 平面PAE⊥平面 ABC
二.填空题（5×4）
13. 在三棱锥哦O-ABC中，三条棱
两两互相垂直，且OA=OB=OC=
2，M是
边的中点，则M到平面OBC的距离是________________
14. 如图，已知正三棱柱ABC-A1B
直线AD 与平面B1DC所成角的正弦值为 .
15. 边长为2的正方形ABCD在平面α内的射影是EFCD，如果AC与平面α所成角的大小是，则AB与平面α的距离为
。
16. 在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体
是 （写出所有正确结论的编号）。①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等
腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三
角形的四面体。
2008年宣威八中
高二数学（理科）检测卷
答题卡
一、选择题（每小题5分，共60分）
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 |
二、填空题（每小题5分，共20分）
13题 14题
1 5题 16题
三、解答题（共6小题，共计70分）
17、（10分）在长方体
中，已知
，求异面直线
与
所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.
18、（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD，且PA＝AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点.
(1)求证：PB⊥DM;
(2)求CD与平面ADMN所成的角。
19、（12分）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，
（1）求证：
平面BCD；
（2）求点E到平面ACD的距离。
 |
20、（12分）如图，在直三棱柱ABC－A1B
（1）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；
（2）设AA1＝AC＝AB，求二面角A1－AD－C1的大小．
 |
21、（12分）如图，在
中，
，斜边
．
可以通过以直线
为轴旋转得到，且二面角
是直二面角．动点
的斜边上．
（1）求证：平面
平面
；
（2）求
与平面所成角的最大值
22、（12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA
底面ABCD,
DAB为直角，AB‖CD,AD=CD=2AB,E、F分别为PC、CD的中点.
（1）试证：CD平面BEF;
（2）设PA＝k·AB,且二面角E-BD-C的平面角大于
,求k的取值范围.
2008年宣威八中
高二数学（理科）检测卷参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | C | D | D | D | D | C | B | D | B | A | B | C |
二、填空题（每小题5分，共20分）
13题 1
14题 
1 5题 
16题 ①③④⑤
三、解答题（共6小题，共计70分）
17、连接
，
为异面直线与所成的角.
连接
，在△
中，
，
则
.
异面直线与所成角的大小为
.
[解法二] 以
为坐标原点，分别以
、
、
所在直线为
轴、
轴、
轴，建立空间直角坐标系.
则 
， 得 
.
设
与
的夹角为
，
则
，
与的夹角大小为，
即异面直线与所成角的大小为.
18、方法一：
（I）因为
是
的中点，
，
所以
.
因为
平面
，所以
，
从而
平面
.
因为
平面，
所以
.
（II）取
的中点
，连结
、
，
则
，
所以与平面所成的角和与平面所成的角相等.
因为平面，
所以
是与平面所成的角.
在
中，
.
故与平面所成的角是
.
方法二：如图，以
为坐标原点建立空间直角坐标系
，设
，则
.
（I）
因为
，
所以
（II）
因为
，
所以
，又因为，
所以平面
因此
的余角即是与平面所成的角.
因为
，
所以与平面所成的角为.
19、方法一：
（I）证明：连结OC
在
中，由已知可得
而
即
平面
（II） 设点E到平面ACD的距离为
在
中，
而
点E到平面ACD的距离为
方法二： （I）同方法一。
（II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则
设平面ACD的法向量为
则
令
得
是平面ACD的一个法向量。
又
点E到平面ACD的距离
20、解法一：
（Ⅰ）设O为AC中点，连接EO，BO，则EO∥＝C1C，又C1C∥＝B1B，所以EO∥＝DB，EOBD为平行四边形，ED∥OB． ∵AB＝BC，∴BO⊥AC，
又平面ABC⊥平面ACC1A1，BOÌ面ABC，故BO⊥平面ACC1A1，
∴ED⊥平面ACC1A1，BD⊥AC1，ED⊥CC1，
∴ED⊥BB1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线．……6分
（Ⅱ）连接A1E，由AA1＝AC＝AB可知，A1ACC1为正方形，
∴A1E⊥AC1，又由ED⊥平面ACC1A1和EDÌ平面ADC1知平面
ADC1⊥平面A1ACC1，∴A1E⊥平面ADC1．作EF⊥AD，垂足为F，连接A
不妨设AA1＝2，则AC＝2，AB＝ED＝OB＝1，EF＝＝，
tan∠A1FE＝，∴∠A1FE＝60°．
所以二面角A1－AD－C1为60°．
解法二：
（Ⅰ）如图，建立直角坐标系O－xyz，其中原点O为AC的中点．
设A(a，0，0)，B(0，b，0)，B1(0，b，2c)．
则C(－a，0，0)，C1(－a，0，2c)，E(0，0，c)，D(0，b，c)．
＝（0，b，0），＝(0，0，2c)．
·＝0，∴ED⊥BB1．
又＝(－2a，0，2c)，
·＝0，∴ED⊥AC1，
所以ED是异面直线BB1与AC1的公垂线．
Ⅱ）不妨设A(1，0，0)，则B(0，1，0)，C(－1，0，0)，A1(1，0，2)，＝(－1，－1，0)，＝(－1，1，0)，＝(0，0，2)，·＝0，·＝0，即BC⊥AB，BC⊥AA1，又AB∩AA1＝A， C⊥平面A1AD．
又 E(0，0，1)，D(0，1，1)，C(－1，0，1)，
＝(－1，0，－1)，＝(－1，0，1)，＝(0，1，0)，·＝0，·＝0，即EC⊥AE，EC⊥ED，又AE∩ED＝E，∴ EC⊥面C1AD．
cos＜，＞＝＝，即得和的夹角为60°．
所以二面角A1－AD－C1为60°．
21、（1）由题意，
，
，
是二面角是直二面角，
又
二面角是直二面角，
，又
，
平面，
又
平面
．
平面平面．
（2）由（1）知，
平面，
是与平面所成的角，且
．
当
最小时，
最大，
这时，
，垂足为，
，
，
与平面所成角的最大值为
．
22. 解法一：
（Ⅰ）证：由已知DF∥AB且DAD为直角，故ABFD是矩形，从而CDBF.
又PA底面ABCD,CDAD，故由三垂线定理知CDPD.在△PDC中，E、F分别
PC、CD的中点，故EF∥PD,从而CDEF,由此得CD面BEF. 第（19）图１
（Ⅱ）连结AC交BF于G.易知G为AC的中点.连接EG,则在△PAC中易知EC∥PA.又因
PA底面ABCD,故BC底面ABCD.在底面ABCD中，过C作GHBD,垂足为H,连接EH.由三垂线定理知EHBD.从而EHG为二面角E-BD-C的平面角.
设AB=a,则在△PAC中，有BG=
PA=ka.
以下计算GH，考察底面的平面图（如答(19)图２）.连结GD.
因S△CBD=BD·GH=GB·OF.
故GH=
.
在△ABD中，因为AB＝a,AD=2A,得BD=
a 第（19）图２
而GB=FB=AD-a.DF-AB,从而得
GH== 
＝
因此tanEHG=
=
由k＞0知
是锐角，故要使＞，必须
＞tan=
解之得，k的取值范围为k＞
解法二：
（Ⅰ）如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为：轴建立空间直角坐标系，设AB=a,则易知点A,B,C,D,F的坐标分别为
A(0,0,0),B(a,0,0),C(
F(a,
从而
=(2a,0,0), 
=(0,2a,0),
·=0,故 .
设PA=b,则P(0,0,b),而E为PC中点.故 第（19）３
E
.从而
=
.
·=0,故.
由此得CD面BEF.
（Ⅱ）设E在xOy平面上的投影为G，过G作GHBD垂足为H,由三垂线定理知EHBD.
从而EHG为二面角E-BD-C的平面角.
由PA＝k·AB得P(0,0,ka),E
,G(a,a,0).
设H(x,y,0)，则
=(x-a,y-a,0), 
=(-a,2a,0),
由·=0得=a(x-a)+2a(y-a)=0,即
x-2y=-a ①
又因
=(x,a,y,0),且与的方向相同，故
＝
，即
2x+y=
由①②解得x=
a,y=a,从而＝
，｜｜＝
a.tanEHG=
=
=.
由k＞0知，EHC是锐角，由EHC＞
得tanEHG＞tan即
＞
故k的取值范围为k＞
.