08年高二数学第二学期立几检测题

立体几何

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每题都给出四个选项，其中只有一个是正确的）。

1．一条直线和两异面直线b，c都相交，则它们可以确定（　　）

　A．一个平面　　　　  B.两个平面

　C.三个平面　　　　　 D.四个平面

2．ABC的顶点B在平面内，A、C在的同一侧，AB、BC与所成的角分别是 和，若，则AC与所成的角为（　  ）

A. 　　　　　　B. 　　　　 C. 　　　 D.

3．平面α,β,γ，如果α∩β＝a，β∩γ＝b, γ∩α= c，a∩b∩c = A,则α,β,γ把空间分成的部分数为

 A．4　　　　B. 6　　　 C. 7　　　 D. 8

4．P是ΔABC所在平面α外的一点，P到ΔABC三边的距离相等，PO⊥α于O，O在ΔABC内，则O是ΔABC的

 A．外心　　　 B.内心　　　 C.垂心　　　 D.重心

5．菱形ABCD中，∠A=60°，边长为，沿对角线BD把它折成60°的二面角，则AC与BD的距离是

　A．　　　 B.　　　　C.　　　　D.

6．在直二面角α－PQ－β中,直角三角形ABC在面α内,斜边AB在棱PQ上,若AC与面β成30°的角,则BC与面β所成角为

　A．30°　　 B.45°　　 C.60°　　D.上述三个结论都不对

7．在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，PA⊥平面ABCD，且PA=1，则P到对角线BD的距离为（ 　 ）

A．　　　 B.　　　 C.　　  D.

8．在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，M为AD的中点，O为侧面AA₁B_­1B的中心P为棱CC₁上任意一点，则异面直线OP与BM所成的角等于（　　）

　A．90°　　　 B.60°　　　C.45°　　　D.30°

9．如图，长方体中，，AD=1，点E、F、G分别是、、的中点，则异面直线与GF所成的角是　　　　　　　　　　　　 （　　）

A. 　　B. 　　C. 　　D.

10．在直线坐标系中，设，沿轴把直角坐标平面折成的二面角后，AB的长为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

A. 　　　　 B. 　　　 C. 　　D.

二、填空题

 11. 已知点P为锐二面角张口内的一点，点P到平面及棱的距离之比为，则此二面角的大小是　　　　　  .

12．等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α所成角为30°，则斜边上的中线CM与α所成的角为________。

  13．P是边长为a的正三角形ABC外一点，AP⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，且PA=PB=PC，则P到ΔABC所在平面的距离为_______.

  14．如图所示，ABCD是空间四边形，E、F、G、H分别是四边上的点，并且面，面，当是菱形是时，　　　 .

 

15.在正方体中，过对角线的一个平交于E，交于F，则

①四边形一定是平行四边形；　  ②四边形有可能是正方形；

③四边形在底面ABCD内的投影一定是正方形；

④四边形有可能垂直于平面。

以上结论正确的为　　　　　　　　  （写出所有正确的序号）

三、解答题

  16．（本题满分10分）二面角α–EF–β的大小为120°，A是它内部的一点AB⊥α，AC⊥β，B，C分别为垂足，

（1）　　　 求证：平面ABC⊥β；

（2）　　　 当AB=4cm，AC=6cm,求BC的长及A到EF的距离。

  17．（本题满分12分）已知空间四边形ABCD的四条边和两对角线相等，E为AD的中点，求EC与平面BCD所成角的正弦值。

18.将等腰直角三角形ABC的斜边ABC（）的斜边AB上的高CD为棱折成一个 的二面角，使到的位置，已知斜边AB=2，求：

⑴C到平面的距离　 

⑵A到平面的距离　

⑶AC与平面所成的角　 

19．把边长为a的正方形ABCD沿AD，BC的中点M，N的线折成直二面角，原正方形的对角线AC被折成折线AOC。求：（1）∠AOC的大小；（2）AC和MN间的距离。

  20．已知PA⊥AC，PB⊥BC，AC⊥BC，PA，PB与平面ABC所成的角分别为30°和

45°，问直线PC与AB是否垂直（如图）？

21.如图，在四棱维P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点。

⑴求证：　

⑵求证：EF∥平面　　

⑶当平面PCD与平面ABCD成多大角时，直线平面？

参考答案

（一）选择题

1．B　 2.B　　3.D　　4.B　　5.A　　6.C　　7．B　　8.A　　9. B　10.D

（二）填空题

11.　 12.45°　　　13. 　　 14. 　　 15.① ③ ④

（三）解答题

　16．【提示】如图所示，（1）∵AB⊥α，EFα，∴EF⊥AB，同理EF⊥AC，AB，AC是两条相交直线，∴ EF⊥平面ABC，∵ EFα，EFβ,∴ 平面ABC⊥平面α,平面ABC⊥平面β。

  （2）设平面ABC与EF交于点D，连结BD，CD，则BD，CD平面ABC，∵EF⊥平面ABC，∴ EF⊥BC，EF⊥DC，∠BDC是二面角α–EF–β的平面角，∠BCD=120°，A，B，C，D在同一平面内，且∠ABD=∠ACD=90°，

∴∠BAC=60°，当AB=4 cm, AC=6 cm时，

BC=

又∵  A，B，C，D共圆，∵AD是直径。∵ EF⊥平面ABC，AD平面ABC，

∴ AD⊥EF，即AD是A到EF的距离，由正弦定理，得AD==（cm）

17．【提示】如图所示，过A，E分别作AO，EF垂直于平面BCD，∵ DO是AD在平面BCD的射影，∴ EDO，设AB=a，∴AO=a，又 ∵ EF∥AO，且E为AD的中点。

∴ EF==，CE=

又　∠ECF为CE与平面BCD成的角，

∴ sin∠ECF===。

18.（1），它们的位置关系在折叠前后不变，平面，CD的长就是C到平面的距离，CD=1；

（2）过点A作交于E，平面，∴平面平面，平面，∴AE的长为点A到平面的距离，

（3）连CE，平面，CE为AC在平面上的射影，为与平面所成的角，在中，易求得

19．【提示】（1）在如图中，M，N是正方形ABCD的边AD，BC的中点，

　 ∴ AM=CN=，AM，CN与MN成90°的角，在图中，AC=

　 又　 OA = OC = , ∴ cos∠AOC = =，∠AOC=120°

　

（2）连结BC，∵ MN∥AB，AB平面ABC，∴　MN∥平面ABC，因此，MN与AC间的距离等于MN与平面ABC间的距离，又 MN⊥平面CNB，于是平面ABC⊥平面CNB，作NP⊥BC于P，NP平面CNB，因此NP⊥平面ABC，即NP的长等于AC与MN的距离，NC=NB=，BC=，∴ NP==，即AC和MN间的距离为。

  20．直线PC与AB不能垂直。若PC⊥AB，作PD⊥平面ABC于D，则由三垂线定理的逆定理得CD⊥AB。

  同理可得　DA⊥AC，DB⊥BC，又AC⊥BC，

  ∴ACBD为矩形，又 ∵  CD⊥AB，∴　ACBD为正方形，∴　AD=BD。

  依题意可得AD=PD·cot30°=，

  BD=PD·cot45°= PD, ∴ AD≠PD。这与AD=BD矛盾，

  ∴ 直线PC与AB不垂直。

 21（1）是矩形，，又底面ABCD，

（2）设H点为PD的中点，又分别为AB、CP的中点，为平行四边形，平面PAD；

（3）为面PCD与面ABCD所成的角，要使平面PCD，只须平面PCD，即可，又∵点H为PD的中点，为等腰直角三角形，，即当平面PCD与平面ABCD成的角时，直线平面ABCD。