高二年段文科数学上学期选修模块考试卷

　　　　　　　　　  命题者：林永忠　 审核者：林伟　 08、01、30

一、选择题（每小题只有一个正确的选项，12小题，共60分）

1、在复平面内，复数对应的点位于（　　）　  

A、第一象限　 　 B、第二象限　　　C、第三象限 　　D、第四象限

2、设a、b、c、d∈R，则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是（　 ）

A、ad－bc=0　　 B、ac－bd=0　　C、ac+bd=0　D、ad+bc=0

3、在区间上的最大值是（　 ）

A、－2　　  B、0　　  C、 2　　  D、4

4、如图，正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长为1，

则到平面AB C₁D₁的距离为（ 　）

A、　B、　C、　D、

5、如果双曲线的两个焦点分别为、，一条渐近线方程为，那么它的两条准线间的距离是（　　）

A、 　　　　 B、2　　　　　 C、4　　　　　　D、1

6、抛物线的准线方程是（　　 ）

A、y=1　 　B、y=-1  　C、x=-1　  D、x=1

7、已知动点，定点和，若＝，则点的轨迹是（　 ）

A、双曲线　　B、双曲线的一支　 C、两条射线　 D、一条射线

8、PA、PB、PC是从P点出发的三条射线，每两条

射线的夹角均为，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是（　）

A、　  B、　　 C、　　 D、

9、过点（－1，0）作抛物线的切线，则 其　

中一条切线为（　　 ）

　A、　  B、　 C、　 D、

10、如果为偶函数，且导数存在，则的值为　 （　 ）

A、2　　　　B、1　　　C、0　　  D、－1

11、有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖。”乙说：“甲、丙都未获奖。”丙说：“我获奖了。”丁说：“是乙获奖。”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（　 ）

A、甲　　B、乙　 C、丙　 D、丁

12、已知双曲线(a>0,b<0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则的取值范围是（　）

A、( 1,2)　　   B、(1,2)　　　 C、[2,+∞]　　　 D、(2,+∞)

二、填空题（4小题，共16分）

13、一个物体的运动方程为，其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在1 秒末的瞬时速度是　　　　 米/秒。　

14、数列2、5、11、20、、47、……中的值为　　　　  。

15、已知函数在上单调递减，在上单调递增，且函数的导数记为，则下列结论正确的命题是　　　.

① 是方程的根；②1是方程的根；③ 有极小值；

 ④有极大值 ； ⑤ 。

16、若三角形的内切圆的半径为，三边长为，则三角形的面积；根据类比的思想，若四面体的内切球的半径为R，四个面的面积为，则四面体的体积＝　　　　 。

三、解答题（6小题，共74分）

17、已知椭圆C的焦点分别为F₁（，0）和F₂（2，0），长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点，求椭圆方程和线段AB的中点坐标。

18、已知函数在处有极小值,

(1)求函数的表达式 ；

(2)求函数的单调递增区间与单调递减区间？

(3)求函数在闭区间上的最大值与最小值？

19、如图，在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁，中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动.

　 （1）证明：D₁E⊥A₁D；

　 （2）AE等于何值时，二面角D₁—EC—D的大小为.

20、选做题，以下两题可任选一题进行作答，若两题都做，则以第一题的得分计算。

（一）已知，

①求证：；

②若，利用①的结论求的最大值。

（二）已知，

①求证：。

②利用①的结论求的最小值。

21、把边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长为cm的相等的正方形，然后折成一个高度为cm的无盖的长方体的盒子，要求长方体的高度与底面边长的比值不超过常数，

（1）用和表示出长方体的体积的表达式，并给出函数的定义域；

（2）问取何值时，盒子的容积最大，最大容积是多少？

22、抛物线方程为y²=p（x+1）（p＞0），直线x+y=m与x轴的交点在抛物线的准线的右边.

（1）求证：直线与抛物线总有两个交点；

（2）设直线与抛物线的交点为Q、R，OQ⊥OR，

求p关于m的函数f（m）的表达式；

（3）在（2）的条件下，若抛物线焦点F到直线x+y=m的距离为，

求此直线的方程；

莆田四中0007－2008学年上学期

高二年段数学（文）选修模块考试卷参考答案

1——12：DDCBB；ADCAC；CC

13：1；　　 14：32 ；　 15：①②③④⑤；　  16：

17、解析：设椭圆C的方程为，

由题意a=3，c=2，于是b=1.　　　　　　　　　 ………………4分

∴椭圆C的方程为＋y²＝1．　　　　　　　  ……………………6分

由得10x²＋36x＋27＝0，　　　　　　  ………………8分

因为该二次方程的判别式Δ＞0，所以直线与椭圆有两个不同的交点，

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁＋x₂＝，　　　………………10分

故线段AB的中点坐标为（）．　　　　　　 　　　…………12分

18、解析(1),　　　 　………………4分

　 (2) 增区间为: 减区间为:　　 　　 …………8分

　 (3)　　  ………………………… ………………12分

19、解法（一）（1）证明：∵AE⊥平面AA₁DD₁，A₁D⊥AD₁，∴A₁D⊥D₁E ……5分

（2）过D作DH⊥CE于H，连D₁H、DE，则D₁H⊥CE，

　∴∠DHD₁为二面角D₁—EC—D的平面角.设AE=x，则BE=2－x

　　　　　  ………………12分

解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD₁分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0），C（0，2，0） 

（1）　　 …………5分

（2）设平面D₁EC的法向量，

∴

由

 令b=1, ∴c=2,a=2－x，∴

依题意

∴（不合，舍去）， .

∴AE=时，二面角D₁—EC—D的大小为.　　　　  …………12分

20、（一）①证明，　　　 ………………3分

两式相加可得

当且仅当时等号成立　　　　　　　 　 ………………6分

②　　………………9分

　则，当且仅当时等号成立。　　………………12分

（二）①要证，只要证，　 ……3分

则，

当且仅当时等号成立。故原不等式得证。　　 …………6分

②由①的结论知：，

当且仅当时，等号成立。　　　　　　　  ………………12分

21、解析：（1）设长方体高为cm，则底面边长为，

长方体容积（单位：cm³） ；……4分

∵.　　即函数定义域为，……6分

（2）

令于是　　 …………8分

x	（0，10）	10	（10，30）
V'（x）	+	0	－
V（x）	↑		↓

①当在x=10时，V取得最大值为

；　　　　　　　　　　　　　　  …………10分

②当取得最大值

.　　　　　　　　　　　　　　　　  ………………12分

22、解：（1）抛物线y²=p（x+1）的准线方程是x=－1－，

直线x+y=m与x轴的交点为（m，0），由题设交点在准线右边，

得m＞－1－，即4m+p+4＞0.　由

得x²－（2m+p）x+（m²－p）=0.

而判别式Δ=（2m+p）²－4（m²－p）=p（4m+p+4）.

又p＞0及4m+p+4＞0，可知Δ＞0.

因此，直线与抛物线总有两个交点；　　　　　　　　  …………4分

（2）设Q、R两点的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），

由（1）知，x₁、x₂是方程x²－（2m+p）x+m²－p=0的两根，

∴x₁+x₂=2m+p，x₁·x₂=m²－p.　　由OQ⊥OR，得k_OQ·k_OR=－1，

即有x₁x₂+y₁y₂=0.　　又Q、R为直线x+y=m上的点，

因而y₁=－x₁+m，y₂=－x₂+m.

于是x₁x₂+y₁y₂=2x₁x₂－m（x₁+x₂）+m²=2（m²－p）－m（2m+p）+m²=0，

∴p=f（m）=，由得m＞－2，m≠0；…………9分

（3）由于抛物线y²=p（x+1）的焦点F坐标为（－1+，0），于是有

，即p－4m－4=4.　

又p=　 ∴=4.

解得m₁=0，m₂=－，m₃=－4，m₄=－.

但m≠0且m＞－2，因而舍去m₁、m₂、m₃，

故所求直线方程为3x+3y+4=0.　　　　　　　　  　………………14分