高二年级数学第五次统考试题

数　学　试　题

时间：120分钟  满分：150分

第 Ⅰ 卷

一．选择题 （本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1、一个正方体的全面积为24cm²，一个球内切于该正方体，则此球的体积为

A、　　　　　 B、.　　　　C、　　  D、

2、某房间有四个门，甲要进、出这个房间，不同的走法有多少种？

A.12　　　　B.7　　 C.16　　 D.64

3、从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有

A．140种　　　 B．120种　　　 C．35种　　　　  D．34种

4、对某种产品的5件不同正品和4件不同次品一一进行检测，直到区分出所有次品为止. 若所有次品恰好经过五次检测被全部发现，则这样的检测方法有

A.20种　 　　　　 B.96种　　　　　　  C.480种 　　　　　　　　 D.600种

5、若在二项式(x+1)¹⁰的展开式中任取一项,则该项的系数为奇数的概率是

A.　　　　　　 　B.　　　　　　 C.　　　　　　 　D.

6、的展开式中存在常数项,则n的值可以是

A.12　　　 　　B.13　　　　  C.11　　　　 D.10

7、正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB=AA₁，则AC₁与平面BB₁C₁C所成角的正弦值为

A.　　　　B.　　  C.　　　 D.

8、如图是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C为　　

其上的三个点，则在正方体盒子中，∠ABC等于

A.45°　　　　 B.120°

C.90°　　　　  D.60°

9、若多项式

A.9　　　　　  B.10　　　　　 C.－9　　　　　　 D.－10

10、四面体的一个顶点为A，从其它顶点与各棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有

A.30种　　　　B.33种　　　　C.36种　　　　  D.39种

第 Ⅱ 卷

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11、 五种不同的商品在货架上排成一排，其中a 、b两种必须排在一起，而c、d两种不能排在一起，则不同的排法共有　　　　种

12、有一名同学在书写英文单词“error”时，只是记不清字母的顺序，那么他写错这个单词的概率为__________

13、已知A、B、C三点在球心为 O，半径为R 的球面上，AC⊥BC，且 AB=R，那么 A、B 两点间的球面距离为_________球心到平面 ABC 的距离为________.

14、a、b、c、d、e、f 6人排一列纵队，限定a要在b的前面（a与b可以相邻，也可以不相邻）求共有几种排法。对这个题目，A、B、C、D4位同学各给出了一种算法：A：　B：　C： D：　上面4个算式中，正确的是　　　 。

15、关于二项式(x－1)²⁰⁰⁵有下列命题：

①该二项展开式中非常数项的系数和是1；

②该二项展开式中第六项为x¹⁹⁹⁹；

③该二项展开式中系数最大的项是第1002项；

④当x=2006时，(x－1)²⁰⁰⁵除以2006的余数是2005。

其中正确命题的序号是_______。（注：把你认为正确的命题序号都填上）

高一年级第五次月考

数学试题（答题卷）

一、选择题：

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
答案	D	C	D	D	B	C	C	D	D	B

二、填空题：

　 11、　　　　 24　　　　　  　　　　12、　　　　   　　　　　 

　 13、　　 　　　　　　　　　14、　　 A、B、C、D　　　　

　 15、　　　　①④　 　　　　

三、解答题：（本大题共6小题，满分75分）

16、（12分）二项式的展开式中：

⑴求常数项；

⑵有多少个有理项？

⑶求展开式中所有项系数之和。

解：展开式的通项为：T_r+1＝(－1)^r＝(－1)^r2^r，  ………3分

⑴设T_r+1项为常数项，则＝0，得r=6，即常数项为T₇＝2⁶；………6分

⑵设T_r+1项为有理项，则＝5－r为整数，∴r为6的倍数，

又∵0≤r≤15，∴r可取0，6，12三个数。

∴有3个有理项。　　　　　　　　　　　　　　　　　  ………9分

⑶令 x=1得展开式中所有项系数之和为

　 （1-2）¹⁵=-1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………12分

17、（12分） 

（I）能构成多少个从A到A的映射？

（II）能构成多少个从A到A的一一映射？

（III）能构成多少个从A到A的映射，且恰有一个元素无原象？

解：（I）由于A中的任何一个元素在B中都有5种对应方法，

故可构成从A到A的映射个，即个3125个。　　　　　  ……………4分

（II）A中的所有元素有一个全排列就有一个从A到A的一一映射，

故可构成从A到A的一一映射A个，即120个。　　　　 ………………8分

（III）分两步完成：

（1）把A中的元素分成4组，有种分法

（2）再把这4组与A中的4个元素对应有种对应方法。

故可构成符合题意的映射个　　　　　　　  ……………………12分

18、（本题满分12分）如图，在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AC₁与底面ABC成60°角，E、F分别为AA₁、AB的中点，求异面直线EF与AC₁所成的角的大小。（用反三角函数表示）

解：如图建立空间直角坐标系

∵由题意可知∠C₁AC=60°，C₁C=　 …………2分

、、、　 ………4分

即　　　　　…………6分

设

则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………8分

　…………10分

　　　　　　　　　　　　 …………12分

19、(12分)掷三颗骰子，试求：

(1)没有一颗骰子出现1点或6点的概率；

(2)恰好有一颗骰子出现1点或6点的概率。

解：掷1颗骰子有6个结果，掷三颗骰子共有6³个结果。

（1）掷1颗骰子没有1点或6点的有4个结果，掷三颗骰子没有一颗骰子出现1点或6点共有4³个结果，故没有一颗骰子出现1点或6点的概率为

　　 P(A)=　　　　　　　　　　　　　　　　　  　　　　　　　……6分

（2）恰好有一颗骰子出现1点或6点的有，故掷三颗骰子恰好有一颗骰子出现1点或6点的概率为

　　　P(B)= 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…12分

20、（13分）在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点.

（Ⅰ）证明：AC⊥SB；

（Ⅱ）求二面角N—CM—B的大小；

（Ⅲ）求点B到平面CMN的距离.

解法一：（Ⅰ）取AC中点D，连结SD、DB.

∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SD且AC⊥BD，

∴AC⊥平面SDB，又SB平面SDB，∴AC⊥SB.

（Ⅱ）∵AC⊥平面SDB，AC平面ABC，

∴平面SDB⊥平面ABC.　过N作NE⊥BD于E，NE⊥平面ABC，

过E作EF⊥CM于F，连结NF，则NF⊥CM.

∴∠NFE为二面角N－CM－B的平面角.

∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，∴SD⊥平面ABC.

又∵NE⊥平面ABC，∴NE∥SD.

∵SN=NB，∴NE=SD===，且ED=EB.

在正△ABC中，由平几知识可求得EF=MB=，

在Rt△NEF中，tan∠NFE==2，

∴二面角N—CM—B的大小是arctan2.

（Ⅲ）在Rt△NEF中，NF==，

∴S_△CMN=CM·NF=，S_△CMB=BM·CM=2.

设点B到平面CMN的距离为h，

∵V_B-CMN=V_N-CMB，NE⊥平面CMB，∴S_△CMN·h=S_△CMB·NE，

∴h==.即点B到平面CMN的距离为.

解法二：（Ⅰ）取AC中点O，连结OS、OB.　∵SA=SC，AB=BC，

∴AC⊥SO且AC⊥BO.　∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面　ABC=AC

∴SO⊥面ABC，∴SO⊥BO.　如图所示建立空间直角坐标系O－xyz.

则A（2，0，0），B（0，2，0），C（－2，0，0），

S（0，0，2），M(1，，0)，N(0，，).

∴=（－4，0，0），=（0，2，2），

∵·=（－4，0，0）·（0，2，2）=0，

∴AC⊥SB.　　　　　　　 　　　　 ………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得=（3，，0），=（－1，0，）.设n=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，

　  ………………6分

又=(0，0，2)为平面ABC的一个法向量， 　　………………7分

∴cos(n，)==.　∴二面角N－CM－B的大小为arccos.　  ………10分

（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）得=（－1，，0），n=（，－，1）为平面CMN的一个法向量，∴点B到平面CMN的距离d==.　　　　　  ………………13分

21、（14分）规定，其中x∈R，m是正整数，且，这是组合数（n、m是正整数，且）的一种推广。

⑴ 求的值；

⑵组合数的两个性质：①＝；② ＋＝．是否都能推广到（x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；

　　 ⑶ 已知组合数是正整数，证明：当x∈Z，m是正整数时，∈Z．

解：（1）＝＝－11628；　　　　  ……………3分

　 （2）＝不能推广到的情形，例如，无意义；　 ………4分

　　　　　  ＋＝．能推广到的情形，

　　　　　　  ＋＝

　　　　　　　　 　　　＝

　　　　　　　　 　　　＝

　　　　　　　　 　　　＝＝．　　　  …………8分

　（3）① 当0≤x＜m时，中一定有一个为零，＝0；

………………10分

　　　 ② 当x≥m时，是组合数，∈Z；　　　　　　　   ………………11分

　　　 ③ 当x＜0时，＝

　　　　　　　　　　　　　  ＝

　　　　　　　　　　　　　  ＝

　　　　　　　　　　　 ＝∈Z．　　　　　　　　   …………14分

高二年级第五次统考

一．选择题 （每小题５分，共50分）

1、一个正方体的全面积为24cm²，一个球内切于该正方体，则此球的体积为【D】

A　　　　　 B.　　　　C.　　  D.

2、某房间有四个门，甲要进、出这个房间，不同的走法有多少种？【C】

A.12　　　　B.7　　 C.16　　 D.64

3、从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有【D】

A．140种　　　 B．120种　　　 C．35种　　　　  D．34种

4、对某种产品的5件不同正品和4件不同次品一一进行检测，直到区分出所有次品为止. 若所有次品恰好经过五次检测被全部发现，则这样的检测方法有【C】

A.20种　 　　　　 B.96种　　　　　　  C.480种 　　　　　　　　 D.600种

5、若在二项式(x+1)¹⁰的展开式中任取一项,则该项的系数为奇数的概率是【B】

A.　　　　　　 　B.　　　　　　 C.　　　　　　 　D.

6、的展开式中存在常数项,则n的值可以是【C】

A.12　　　　　 B.13　　　　  C.11　　　　 D.10

7、正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB=AA₁，则AC₁与平面BB₁C₁C所成角的正弦值为【C】

A.　　　　B.　　  C.　　　 D.

8、如图是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C为　　

其上的三个点，则在正方体盒子中，∠ABC等于【D】

A.45°　　　　 B.120°

C.90°　　　　　D.60°

9、若多项式【D】

A.9　　　　　  B.10　　　　　 C.－9　　　　　　 D.－10

10、四面体的一个顶点为A，从其它顶点与各棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有【B】

A.30种　　　　B.33种　　　　C.36种　　　　  D.39种

二.填空题 （每小题5分，共25分）

11、 五种不同的商品在货架上排成一排，其中a 、b两种必须排在一起，而c、d两种不能排在一起，则不同的排法共有　　24　　种

12、有一名同学在书写英文单词“error”时，只是记不清字母的顺序，那么他写错这个单词的概率为__________

13、已知A、B、C三点在球心为 O，半径为R 的球面上，AC⊥BC，且 AB=R，那么 A、B 两点间的球面距离为_________球心到平面 ABC 的距离为________.

14、a、b、c、d、e、f 6人排一列纵队，限定a要在b的前面（a与b可以相邻，也可以不相邻）求共有几种排法。对这个题目，A、B、C、D4位同学各给出了一种算法：A：　B：　C： D：　上面4个算式中，正确的是 A B C D　 。

15、关于二项式(x－1)²⁰⁰⁵有下列命题：

①该二项展开式中非常数项的系数和是1；

②该二项展开式中第六项为x¹⁹⁹⁹；

③该二项展开式中系数最大的项是第1002项；

④当x=2006时，(x－1)²⁰⁰⁵除以2006的余数是2005。

其中正确命题的序号是__ ①④_____。（注：把你认为正确的命题序号都填上）

三、解答题 （共75分）

16、二项式的展开式中：

⑴求常数项；

⑵有几个有理项；

⑶有几个整式项。

解：展开式的通项为：T_r+1＝(－1)^r＝(－1)^r2^r，

⑴设T_r+1项为常数项，则＝0，得r=6，即常数项为T₇＝2⁶；

⑵设T_r+1项为有理项，则＝5－r为整数，∴r为6的倍数，

又∵0≤r≤15，∴r可取0，6，12三个数。

⑶5－r为非负整数，得r＝0或6，∴有两个整式项。

17、 

（I）能构成多少个从A到A的映射？

（II）能构成多少个从A到A的一一映射？

（III）能构成多少个从A到A的映射，且恰有一个元素无原象？

解：（I）　　 （II）A　　　（III）

18、掷三颗骰子，试求：

(1)没有一颗骰子出现1点或6点的概率；

(2)恰好有一颗骰子出现1点或6点的概率。

（概率统计）单元检测题参考答案（仅供参考）

解：设A_i表示第i颗骰子出现1点或6点， i=1，2，3，则A_i互相独立，A_i与之间也互相独立，

（1）

 　　　　　　 ……6分

（2）设D表示“恰好一颗骰子出现1点或6点的概率”

则　　　　 ……8分

因互斥

∴

…12分

19、（本题满分12分）

如图，在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AC₁与底面ABC成60°角，E、F分别为AA₁、AB的中点，求异面直线EF与AC₁所成的角的大小。（用反三角函数表示）

解：如图建立空间直角坐标系

∵由题意可知∠C₁AC=60°，C₁C=　…………2分

、、、　　　　　　　 …………4分

即　　　　　　　　　　　　　　　　…………6分

设

则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………8分

　　　　　　　　　　 …………10分

　　　　　　…………12分

20、在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点.

（Ⅰ）证明：AC⊥SB；

（Ⅱ）求二面角N—CM—B的大小；

（Ⅲ）求点B到平面CMN的距离.

解法一：（Ⅰ）取AC中点D，连结SD、DB.

∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SD且AC⊥BD，

∴AC⊥平面SDB，又SB平面SDB，∴AC⊥SB.

（Ⅱ）∵AC⊥平面SDB，AC平面ABC，

∴平面SDB⊥平面ABC.　过N作NE⊥BD于E，NE⊥平面ABC，

过E作EF⊥CM于F，连结NF，则NF⊥CM.

∴∠NFE为二面角N－CM－B的平面角.

∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，∴SD⊥平面ABC.

又∵NE⊥平面ABC，∴NE∥SD.

∵SN=NB，∴NE=SD===，且ED=EB.

在正△ABC中，由平几知识可求得EF=MB=，

在Rt△NEF中，tan∠NFE==2，

∴二面角N—CM—B的大小是arctan2.

（Ⅲ）在Rt△NEF中，NF==，

∴S_△CMN=CM·NF=，S_△CMB=BM·CM=2.

设点B到平面CMN的距离为h，

∵V_B-CMN=V_N-CMB，NE⊥平面CMB，∴S_△CMN·h=S_△CMB·NE，

∴h==.即点B到平面CMN的距离为.

解法二：（Ⅰ）取AC中点O，连结OS、OB.　∵SA=SC，AB=BC，

∴AC⊥SO且AC⊥BO.　∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面　ABC=AC

∴SO⊥面ABC，∴SO⊥BO.　如图所示建立空间直角坐标系O－xyz.

则A（2，0，0），B（0，2，0），C（－2，0，0），

S（0，0，2），M(1，，0)，N(0，，).

∴=（－4，0，0），=（0，2，2），

∵·=（－4，0，0）·（0，2，2）=0，

∴AC⊥SB.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得=（3，，0），=（－1，0，）.设n=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，

又=(0，0，2)为平面ABC的一个法向量，

∴cos(n，)==.　∴二面角N－CM－B的大小为arccos.

（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）得=（－1，，0），n=（，－，1）为平面CMN的一个法向量，∴点B到平面CMN的距离d==.

21、规定，其中x∈R，m是正整数，且，这是组合数（n、m是正整数，且）的一种推广。

⑴ 求的值；

⑵组合数的两个性质：①＝；② ＋＝．是否都能推广到（x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；

　　 ⑶ 已知组合数是正整数，证明：当x∈Z，m是正整数时，∈Z．

解：（1）＝＝－11628；

　　　　（2）＝不能推广到的情形，例如，无意义；

　　　　　  ＋＝．能推广到的情形，

　　　　　　  ＋＝

　　　　　　　　 ＝

　　　　　　　　 ＝

　　　　　　　　 ＝＝．

　　　　 （3）① 当0≤x＜m时，中一定有一个为零，＝0；

　　　　　 ② 当x≥m时，是组合数，∈Z；

　　　　　 ③ 当x＜0时，＝

　　　　　　　　 ＝

　　　　　　　　 ＝

　　　　　　　　 ＝∈Z．