高二数学第二学期期中考试

高二数学试题（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 共150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1、所有题目用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷中，只能在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效。

2、答卷前将答题卷上的姓名、考号、班级填写清楚。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1、且，则…等于（　 ）

A、　　　　　　　　　　 B、　　　　　　　　　　C、　　　　　　　　　 D、

2、α表示一个平面，表示一条直线，则α内至少有一条直线与直线 （　 ）

A、平行　　　　　B、相交　　　　  C、异面　　　　 D、垂直

3、设正方体的全面积为，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是（　）

A、　　　　　　　　 B、　　　　　　　 C、　 D、

4、某电视台连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的奥运广告，要求最后播放的必须是奥运广告，且2个奥运广告不能连续播放，则不同的播放方式有（　 ）

A、36种　　　　 B、48种　　　　  C、 120种　 　　D、20种

5、已知球的两个平行截面面积分别为和，它们位于球心的同一侧，且相距为1，则球半径为（　 ）

A、 4　　　　　 　 B、3　　　　  　C、 2　　　　　  　D、 5

6、已知北纬45⁰圈上有A、B两地，且A地在东经30⁰线上，B地在西经60⁰线上，设地球半径为R，则A、B两地的球面距离是（　 ）

A、　　　　　  B、　　　　C、　　　　  D、

7、若直线与平面所成角为，直线a在平面内，且与直线异面，则直线与直线a所成的角的取值范围是（　 ）

A、　　　　 B、　　　　C、 　　 D、

8、正四面体棱长为，点在上移动，点在上移动，则的最小值为（　） A、　 B、　　　 C、　　　 D、

9、如图，已知矩形中，，，若平面，在边上取点，使，则满足条件的点有2个时，的取值范围是（　）

A、　　　　　　　　　　　　　　　　　 B、

C、　　　　　　　　　　　D、

10、若集合，集合，是从到的映射，则满足的映射有（　）

A、6个　　　　　　　　　　　　 B、7个　　　　　　　　　　　　C、8个　　　　　　　　　　　 D、9个

　第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共６小题，每小题4分，共２４分. 把答案填在题中横线上.

11、　　　　　　　 .

12、在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝BC＝3，AA₁＝4，则异面直线AB₁与 A₁D所成的角的余弦值为　　　　　　　　

13、正四面体V—ABC的棱长为2，E，F，G，H分别是VA，VB，

BC，AC的中点，则四边形EFGH面积是________________ .

14、正六棱锥S-ABCD的底面边长为6，侧棱长为，则它的侧面与底面所成的二面角的大小为_________.

15、表面积为4的球O与平面角为钝角的二面角的两个半平面相切于A、B两点，三角形OAB的面积，则球心到二面角的棱的距离为　_____　　.

16、已知m、n是不同的直线，、是不重合的平面，给出下列命题：

(1) 若，则　(2) 若，则；

(3) 若，则；(4)、是一对异面直线且， 若，则，其中，真命题的编号是_____　　　　（写出所有正确结论的编号）.

三、解答题：本大题共6小题，共76分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17、（本小题满分13分）

已知ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=，E、F是

侧棱PD、PC的中点。 （1）求证：EF∥平面PAB ；

（2）求直线PC与底面ABCD所成角的正切值。

18、（本小题满分13分）

已知球面上的三点A、B、C，且AB=6，BC=8，AC=10，球O的半径R=13，求球心O到面ABC的距离。

19、（本小题满分13分）

4个男生,3个女生站成一排.（必须写出解析式再算出结果才能给分）

⑴ 3个女生必须排在一起,有多少种不同的排法?

⑵ 任何两女生彼此不相邻, 有多少种不同的排法?

⑶ 甲,乙二人之间恰好有三个人，有多少种不同的排法?

⑷ 甲，乙两生相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法?

20、（本小题满分13分）

已知正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁.AB=1，AA₁=2，点E为CC₁中点，点F为BD₁中点.

（1）证明EF为BD₁与CC₁的公垂线；

（2）求点D₁到面BDE的距离.

21、（本小题满分12分）

如图，梯形中，，，是的中点，将沿折起，使点折到点的位置，且二面角的大小为

（1）求证：；

（2）求点到平面的距离；

（3）求二面角的大小.

22、（本小题满分12分）

已知正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的每条棱长均为a，M为棱A₁C₁上的动点．

（1）当M在何处时，BC₁//平面MB₁A，并证明之；

（2）在（1）下，求平面MB₁A与平面ABC所成的二面角的大小；

（3）求B—AB₁M体积的最大值．

高二数学答题卷（理科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
答案

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.

11.　　　　　　　　 　 12.　　　　　　　　 　　　 13.　　　　　　　　  

14.　　　　　　　　 　 15.　　　　　　　　 　　　 16.　　　　　　　　  

17.（本小题满分13分）

三、解答题：本大题共6小题，共76分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

高二数学参考答案（理科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
答案	C	D	D	A	B	B	C	B	A	B

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.

11.　　5　　　　12.　　　　　 13 .　14. 　　　15.　 　 16（3）、（4）

三、解答题：本大题共6小题，共76分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分13分）

解：证明：（1）

证明：（2）连结AC，因为PA平面ABCD，所以就为直线PC与平面ABCD所成的角。即

又因为正方形ABCD的边长为，所以AC=，

所以

18.（本小题满分13分）

解：,是直角三角形。

因为球心O在面ABC的射影M是所在截面圆的圆心，

即的外心。

所以M是直角三角形ABC斜边AC的中点，且.

在中，.

所以球心到面ABC的距离为12.

19.（本小题满分13分）

解：⑴ 先排3个女生作为一个元素与其余的4个元素做全排列有，(种)；

⑵ 男生排好后，5个空再插女生有，(种)；

⑶ 甲、乙先排好后，再从其余的5人中选出3人排在甲、乙之间，把排好的5个元素与最好的2个元素全排列，分步有，(种)；

⑷ 先甲、乙相邻，再把甲乙这个整体与丙分别插入其余4个元素全排列构成的5个空位中，分步有，(种).

20.（本小题满分13分）

（1）证法一：取BD中点M.连结MC，FM .

　 ∵F为BD₁中点 ，　　∴FM∥D₁D且FM=D₁D .（2分）

　 又EC=CC₁且EC⊥MC ，∴四边形EFMC是矩形　　　　

　 ∴EF⊥CC₁.（4分） 又CM⊥面DBD₁ .∴EF⊥面DBD₁ .　　

　 ∵BD₁面DBD₁ . ∴EF⊥BD₁ .　故EF为BD₁ 与CC₁的公垂线.

（Ⅱ）解：连结ED₁，有V_E－DBD1=V_D1－DBE .

由（Ⅰ）知EF⊥面DBD₁ ，设点D₁到面BDE的距离为d.

故点D₁到平面DBE的距离为.

法2：建立空间直角坐标系D-xyz如图所示。易得面DBE的一个法向量。

　 所以D₁到平面DBE的距离.　　

21. （本小题满分12分）

解：(I) 为平行四边形，连结AC交DE于O，

可证且， ．

(II)，，，作，则，又，为所求的距离，；

(III)，连，可知为所求二面角，，，

在直角三角形DHO中，_{, 又因为　。}（12分）

（或）.　　　　

22. （本小题满分12分）

解：（I）当M在A₁C₁中点时，BC₁//平面MB₁A

∵M为A₁C₁中点，延长AM、CC₁，使AM与CC₁延长线交于N，则NC₁=C₁C=a

连结NB₁并延长与CB延长线交于G，则BG=CB，NB₁=B₁G　　 （2分）

在△CGN中，BC₁为中位BC₁//GN

又GN平面MAB₁，∴BC₁//平面MAB₁ （4分）

（II）∵△AGC中， BC=BA=BG　　 ∴∠GAC=90°

 即AC⊥AG　　 又AG⊥AA₁　　

 　　 （6分）

 ∴∠MAC为平面MB₁A与平面ABC所成二面角的平面角

 

 ∴所求二面角为　　　　　　　 （8分）

（Ⅲ）设动点M到平面A₁ABB₁的距离为h_M．

　即B—AB₁M体积最大值为此时M点与C₁重合．　 （12分）