高二数学第二学期半期考试题

(时间120分钟　　 满分150分)

卷I　　 选择题

一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1．点A在直线l上，l在平面外，用符号表示正确的是　（　　）

A．　   B. 　　 C.　 D.

2．以下四个结论：

① 若，则a, b为异面直线；

② 若，则a, b为异面直线；

③ 没有公共点的两条直线是平行直线；

④ 两条不平行的直线就一定相交。其中正确答案的个数是（　 ）

A．0个　　　B．1个　　 C．2个　 　 D．3个

3．已知P为△ABC所在平面α外一点，PA=PB=PC，则P点在平面内的射影一定是△ABC的　　　　 (　 　)

A、内心　 　 B、外心　　C、垂心　 　 D、重心

4．下面叙述正确的是（　　 ）

A．过平面外一点只能作一条直线与这个平面平行；

B．过直线外一点只能作一个平面与这条直线平行；

C．过平面外一点只能作一个平面与这个平面垂直；

D．过直线外一点只能作一个平面与这条直线垂直.

5．(如右图)正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AC与B₁D所成的角为（　  ）

A、　  　 B、　 　　 C、　 　　D、

6．一条直线和两异面直线b，c都相交，则它们可以确定（　 　）

A.一个平面　　B.两个平面　　　C.三个平面　　 D.四个平面

7.（理）三位同学分别从“计算机”及“英语口语”两项活动中选修一项，不同的选法有　　 种。 （　　）

　　 A. 5　　　　　　　　　　　　 B. 6　　　　　　　　　　　 C. 8　　　　　　　　　　D. 9

（文）直线a与平面所成的角为30^o，直线b在平面内，若直线a与b所成的角为，则　( 　　)

A.  B. 　C.　 D.

8．一个简单多面体的各面都是三角形，且有6个顶点，则此简单多面体的面数是（　　）

　　 A. 4　　　　　　　　　　　　 B. 6　　　　　　　　　　　 C. 8　　　　　　　　　　　　D. 10

9．有共同底边的等边三角形和所在平面互相垂直，则异面直线和所成角的余弦值为　　　 （　 ）

A．　　　　  B．　　　　  C．　　　　　 D．

10.（理） 在北纬45°的纬度圈上有甲、乙两地，两地经度差为90°，则甲、乙两地的球面距离为（设地球半径为R）(  　 )

A. 　　　　B. 　　　　　C. 　　　　 D.

（文）已知三个平面、、相交于点O，且，则交线OA与平面OBC所成的角的余弦值是（ 　 ）

A．　　　 B．  　　　C． 　　　　D．

11．一个棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为1：2，则此棱锥的高被分成两段之比（自上而下）为（　　）

　　 A. 1：2　　　　　　B. 1：4　　　　　　　　C. 1：（+1）　　　 D. 1：（）

12．正方体中截面和截面所成的二面角的大小为（　 ）

A．　　　 B．　　　　C．　 　 D．

卷II　 主观题

二．填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）

13．(理)球的两个平行截面面积分别为5π和8π，且在球心的同侧，这两个截面间的距离等于1，则球的半径为 　　  ；

(文)在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝BC＝3，AA₁＝4，则异面直线AB₁与 A₁D所成的角的余弦值为　　　　 ；　　　 　　　　　

14．正四面体V—ABC的棱长为，E，F，G，H分别是VA，VB，

BC，AC的中点，则四边形EFGH面积是__________ 。

15．如图，是边长为的正方形，和都与平面垂直，且，设平面与平面所成二面角为，则　　　　；

16．已知m、n是不同的直线，、是不重合的平面，　　 给出下列命题：

①若，则；②若，则；

③若，则；  ④、是一对异面直线且， 若，则，其中，真命题的编号是　　　 .

三、解答题：（6个小题，共70分）

17．（本小题满分10分）已知ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=2，E、F是侧棱PD、PC的中点。

（1）求证：平面PAB ；

（2）求直线PC与底面ABCD所成角的正切值。

18、(本小题满分12分)已知P为△ABC所在平面外的一点，PC⊥AB，PC＝AB＝2，E、F分别为PA和BC的中点；

（1）求EF与PC所成的角；

（2）求线段EF的长

19．（本小题满分12分）已知平行六面体，各条棱长均为，底面是正方形，且，设，，，

（1）用、、表示及求；

（2）求异面直线与所成的角

的余弦值。

20. （本题满分12分）以等腰直角三角形ABC（）的斜边AB上的高CD为棱折成一个 的二面角，使到的位置，已知斜边AB=2，求：

（1）C到平面的距离 ；　

（2）A到平面的距离 ；

（3）AC与平面所成的角。　　

21．（本小题满分12分）如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点在斜边上．

(文、理)（1）求证：平面平面；

(文、理)（2）当为的中点时，求异面直

　　　　　　 线与所成角的大小；

(理)（3）求与平面所成角的最大值．

22．（本题满分12分）如图，在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁，中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动.

(文、理)（1）证明：D₁E⊥A₁D;

(文、理)（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD₁的距离；

(理)（3）当AE等于何值时，二面角D₁—EC－D的大小为.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

第二卷（答题卡）

一、单选题（每小题5分，共60分）

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
答案

二、填空题（每小题5分，共20分，请把正确的答案写在相应的横线上。）

13、__________________;　　　14、___________________;

15、 __________________;　　  16、 ___________________;

三、解答题：（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

18．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

19．　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

20．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

21．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

22．

试题参考解答

一、选择题：　BABDD　 BCCBB　 DD 　　

二、填空题：

13、（理）3；（文）　　 14. 　 15．　　16.③④

三、解答题：

17、解：证明：（1）

证明：（2）连结AC，因为PA平面ABCD，所以就为直线PC与平面ABCD所成的角。即

又因为正方形ABCD的边长为2，所以AC=，

所以

18、解：设PB的中点为G，连接FG，EG，

则FG∥PC且FG＝PC，EG∥AB且EG＝AB

故∠GFE为EF与PC所成的角，∠EGF为PC与AB所成的角

∵　　PC⊥AB　　

∴　∠EGF＝90°　　又EG＝GF＝1　　　　　

∴　　∠GFE＝45°　　　EF＝

19．解：（1）　 ……2分

　 ……2分

　　 ……2分

（2）　　……2分

　……1分

异面直线与所成的角的余弦值是。　　……1分

20.（1），它们的位置关系在折叠前后不变，平面，CD的长就是C到平面的距离，CD=1；

（2）过点A作交于E，平面，∴平面平面，平面，∴AE的长为点A到平面的距离，

（3）连CE，平面，CE为AC在平面上的射影，为与平面所成的角，在中，易求得

21．（1）略；（2）arctan；（3）arctan

22、解法一（1）∵AE⊥平面AA₁DD₁，A₁D⊥AD₁，∴D₁E⊥A₁D．

（2）设点E到面ACD₁的距离为h，在△ACD₁中，AC=CD₁=，AD₁=，

故

（3）过D作DH⊥CE于H，连D₁H、DE，则D₁H⊥CE，∴∠DHD₁为二面角D₁—EC—D的平面角.设AE=x，则BE=2－x，

解法二以D为坐标原点，直线DA，DC，DD₁分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）

（1）即DA₁⊥D₁E.

（2）因为E为AB的中点，则，

设平面ACD₁的法向量为，则,即得

从而，所以点E到平面AD₁C的距离为

 （3）设平面D₁EC的法向量，∴

由　令b=1, ∴c=2,a=2－x，∴依题意∴（不合，舍去），

∴AE=时，二面角D₁—EC—D的大小为.