高二数学第二学期期末试卷

本试卷满分120分考试时间90分钟

题次	一 1－12	二 13－20	三 21	三 22	三 23	三 24	三 25	总分
得分

一、填空题(满分48分,每小题4分)

1.直线3x+4y+1=0的一个方向向量=(　　 ), 一个法向量=(　　 )

2.直线ax+by+c=0,ab<0,则直线的斜率k=　　  ,倾斜角α=　　　　　　

3.若直线3x－2y+a=0与直线6x－4y+3=0平行,则a的取值范围是　　　　　　　 

4.已知直线x+y=0与直线y=kx+1的夹角为60°,则k=　　　　 

5.圆心为(3,－2),且经过点(1,－3)的圆的标准方程是　　　　　　　　　

6.抛物线y²=4x上任一点M与点A(0,－1)的连线的中点轨迹方程是　　　　　　　　

7.方程表示焦点在y轴上的双曲线,则实数k的取值范围是　　　　　 

8.若(x－2i)y=y+i,x、y∈R,i为虚数单位,到=　　　

9.计算：=　　　　 

10.求=　　　　

11.已知,写出复数z在复平面上所对应的点Z的集合是　　　　　　　 

　　　　　　　　　　　　  　　　　　　　　　　　　　　 .

12.若3i－1是关于x的方程2x²+px+q=0的一个根(p、q∈R)则p=　　,q=　　

二、选择题(满分32分,每小题4分)

13.若复数(a∈R, i为虚数单位)为纯虚数,则a=　　　　　　　　　　　　 (　　)

A　2　　　　　  B  －2 　　　　　 C　4　　　　　  D　3

14.若复数z=a+bi(a、b∈R),则下列正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　  (　　)

A　>　　  B =　　　 C <　　  D =z²

15.已知z∈C,且, i为虚数单位,则的最小值是　　　  (　　)

A　2　　　　　  B  3　　　　　  C  4　　　　　  D　5

16.已知关于x的实系数一元二次方程在复数集中两个根α、β,有下列结论：

　①α、β互为共轭复数；②α+β=－,α·β=；③b²－4ac≥0；

④.正确结论的个数是　　　　　　　　　　　  (　　)

　A　1　　　　　  B  2　　　　　  C  3　　　　　  D　4

17. .若方程x²+y²－x－2y+c=0(c∈R)是一个圆的一般方程,则c　　　　　　　  (　　)

A　c≥　　　　B  c∈R　　　　 C　c=　　　　 D　c<

18.若椭圆与双曲线有相同的焦点, 则实数m为　　 (　　)

A　1　　　　　  B  －1　　　　　C　±1　　　　  D　不确定

19. 双曲线mx²－y²=m的虚轴长是实轴长的2倍, 则实数m=　　　　　　　　  (　　)

A  －4　　　　  B  2　　　　　  C　4　　　　　  D　±4

20.顶点为原点,焦点在y轴上的抛物线上一点P(m,－2)到焦点距离为4,则实数m=(　 )

A  ±2　　　　  B  ±4　　　　  C　2　　　　　  D　4

三、解答题(满分40分)

21.(满分6分) 已知直线ax+4y－2=0与直线2x－5y+c=0相互垂直,且垂足为(1,b),求实数a、b、c的值.

解：

22.(满分8分)已知复数z=log₂(x²－3x－2)+ilog₂(x－3)

（1）x为何实数时，z为实数？　（2）x为何实数时，z为纯虚数？

（3）x为何实数时，z在复平面上所对应的点第三象限？

解：

23．(满分8分)已知椭圆，点M（2，3）过M点引直线交椭圆于A、B两点，求弦AB的中点P的轨迹方程。

解：

24．(满分8分)设复数z满足，求z。

25．(满分10分)平面直角坐标系中C（p，0）作直线与抛物线y²=2px（p>0）相交于A、B两点，如图设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)

(1)求证y₁,y₂为定值；

(2)若点D是点C关于坐标原点O的对称点, 求面积的最小值.

(1)证明：

(2)解：

高二数学期末试卷答案

1.(－3,4)；(4,3)　2.－；arctan(－)　 3.(－∞,)∪(,+∞)

4.0或　5.(x－3)²+(y+2)²=5　 6. (y+)²=2x　 7. (－∞,－2)　8. －2

9.－－i　 10.4　 11.线段的垂直平分线,线段端点分别为(2,0),(0,1).

12.4；20　 13. A　 14. B　 15. B　 16. A　 17. D　 18. C　 19. C　 20. B

21.解得a=20；b=－2；c=－12　　答对一个得2分

22.解：定义域x>　　　　　　　　　　　　　 2分

　(1) z为实数的充要条件：x²－3x－2>0且log₂(x－3)=0,得x=4　　　 2分

　(2) z为纯虚数的充要条件：log₂(x²－3x－2)=0且log₂(x－3)≠0,

　　　　　　 得x=　　　　　　　　　　　　　　　　　　  2分

　(3) z在复平面上所对应的点第三象限的充要条件：log₂(x²－3x－2)<0且

log₂(x－3)<0, 得<x<　　　　　　　　　　　　 2分

23.解：设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)、P(x,y),直线AB：y－3=k(x－3)

　　　 则　 ①,　　②　　　　　　　　  2分

　　①－②得：(x₁+x₂)(x₁－x₂)+4(y₁+y₂)(y₁－y₂)=0

　　 整理得： 　　　　　　　　　　　　　2分

　　 化简得：k=代入y－3=k(x－3)　　  　　　　　　2分

　　 整理得：x²+4y²－3x－12y=0,即为AB的中点P的轨迹方程　　　　2分

24.解法一：设z=a+bi(a、b∈R),　　　　　　　　　　　　　　　　　　1分

　　　　 则a+bi+=

　　　　化简得：a++(b－)i=　　　　　　　　　　2分

　　　则a+=且b－=0,当b=0时,a不存在　　　　 1分

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 当b≠0时, a²+b²=1 　　　　2分

　　 ∴a=且b=±　　  1分,得z=±i　　　　　　　 1分

解法二：由,得2z²－z+2=0　　　　　　　　　　　　　　  3分

　　 ∴z=±i　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　 5分

25.解：（1）当直线垂直于轴时,,因此（定值）；…………………………………………………………………………………….1分

当直线不垂直于轴时，设直线的方程为：，

由得　　　　　  .3分

因此有为定值。………………………………………………….1分

（2）。…………………1分

当直线垂直于轴时，；…………1分

当直线不垂直于轴时，由（1）知　因此，

。……………………………………………………………2分

综上，面积的最小值为。………………………………………1分