安陆一中高二数学同步测试

直线与圆锥曲线(三)

一．选择题

1．过点(2，4)作直线与抛物线y²＝8x只有一个公共点，这样的直线有（　　）

A．1条　　　　　　　B．2条　　　　　　　C．3条　　　　　　　D．4条

2．设椭圆＝1的长轴两端点为M、N，异于M、N的点P在椭圆上，则PM与PN的斜率之积为（　　）

A．－　　　　　　 B．－　　　　　　 C．　　　　　　　 D．

3．双曲线x²－y²＝1的左焦点为F，点P为左支下半支上任意一点(异于顶点)，则直线PF的斜率的变化范围是（　　）

A．(－∞，0)　　　　　　　　　　　　B．(1，＋∞)

C．(－∞，0)∪(1，＋∞)　　　　　　　　 D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

4．若双曲线x²－y²＝1的右支上一点P(a，b)到直线y＝x的距离为，则a＋b的值为（　　）

A．－　　　　 B．　　　　　　 C．±　　　　　D．±2

5．曲线y＝x²－｜x｜－12与x轴相交，则两交点间的距离为（　　）

A．8　　　　　　　　B．0　 　　　　　C．7　 　　　　　　　 　 D．1

二．填空题

6．一个正三角形的顶点都在抛物线y²＝4x上，其中一个顶点在坐标原点，则这个三角形的面积是_____．

7．已知(4，2)是直线l被椭圆＝1所截得的线段的中点，则l的方程是_____．

8．过椭圆3x²＋4y²＝48的左焦点F引直线交椭圆于A、B两点，若｜AB｜＝7，则此直线的方程为______．

9．已知双曲线x²－＝1，过P(2，1)点作一直线交双曲线于A、B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的斜率为______．

三．解答题

10、如图所示，抛物线y²=4x的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点，求△AMN面积最大时直线l的方程，并求△AMN的最大面积.

1、 已知双曲线C：2x²－y²=2与点P(1，2)

(1)求过P(1，2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点.

(2)若Q(1，1)，试判断以Q为中点的弦是否存在.

12、如图，已知某椭圆的焦点是F₁(－4，0)、F₂(4，0)，过点F₂并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且F₁B+F₂B=10，椭圆上不同的两点A(x₁,y₁),C(x₂,y₂)满足条件：F₂A、F₂B、F₂C成等差数列.

(1)求该弦椭圆的方程；

(2)求弦AC中点的横坐标；

(3)弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求m的取值范围.

13、(2004年北京春卷18) 已知点A（2，8），在抛物线上，的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）

　　（I）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；

　　（II）求线段BC中点M的坐标；

（III）求BC所在直线的方程．

14、(2004年天津卷理22)　椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c，0）（）的准线与x轴相交于点A，OF=2FA，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点．

　（1）求椭圆的方程及离心率；　　 （2）若，求直线PQ的方程；

（3）设（），过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明．

15、(2004年全国卷Ⅳ21)设椭圆的两个焦点是与(c>0),且椭圆上存在点P,使得直线PP₁与直线PF₂垂直.　(Ⅰ)求实数m的取值范围;  (Ⅱ)设L是相应于焦点F₂的准线,直线PF₂与L相交于点Q , 若求直线PF₂的方程.

16、(2004年湖北卷)直线：与双曲线C：的右支交于不同的两点A、B．（Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出的值．若不存在，说明理由．

17．求过点(0，2)的直线被椭圆x²＋2y²＝2所截弦的中点的轨迹方程．

18．已知抛物线C：y＝－x²＋mx－1，点A(3，0)，B(0，3)，求C与线段AB有两个不同交点的充要条件(用m的取值范围表示)．

19．如图8—4，椭圆的长轴A₁A₂与x轴平行，短轴B₁B₂在y轴上，中心为M(0，r) (b＞r＞0)．

图8—4

(Ⅰ)写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；

(Ⅱ)直线y＝k₁x交椭圆于两点C(x₁，y₁)，D(x₂，y₂)(y₂＞0)；直线y＝k₂x交椭圆于两点G(x₃，y₃)，H(x₄，y₄)(y₄＞0)．

求证：；

(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的C、D、G、H，设CH交x轴于点P，GD交x轴于点Q．

求证：OP＝OQ．

(证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形)

本小题主要考查直线与椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力．

20.已知双曲线x²－＝1与点P(1，2)，过P点作直线l与双曲线交于A、B两点，若P为AB的中点

(1)求直线AB的方程．

(2)若Q(1，1)，证明不存在以Q为中点的弦．

21.中心在坐标原点、焦点在x轴上的椭圆，它的离心率为，与直线x＋y－1＝0相交于M、N两点，若以MN为直径的圆经过坐标原点，求椭圆方程．

22.在抛物线y²＝4x上恒有两点关于直线y＝kx＋3对称，求k的取值范围．

23.以椭圆＝1(a＞1)的短轴的一个端点B(0，1)为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形，问这样的直角三角形是否存在．如果存在，请说明理由，并判断最多能作出几个这样的三角形?如果不存在，请说明理由．

24.已知椭圆的一个焦点F₁(0，－2)，对应的准线方程为y＝－，且离心率e满足：，e，成等比数列．

(1)求椭圆方程；

(2)是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线x＝－

平分．若存在，求出l的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由．

直线与圆锥曲线(三)参考答案

一．选择题

1.B　 2.A　 3.C　 4.B 　5.A　

二．填空题

6.48　　  7.x＋2y－8＝0　　　 8.y＝±(x＋2)　 　9.6

三．解答题

10.解:由题意，可设l的方程为y=x+m,－5＜m＜0,　

由方程组,消去y,

得x²+(2m－4)x+m²=0　 ①

∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N，

 ∴方程①的判别式Δ=(2m－4)²－4m²=16(1－m)＞0,

解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范围为(－5，0)　,　

设M(x₁,y₁),N(x₂,y₂)则x₁+x₂=4－2m，x₁·x₂=m²,

∴MN=4,　 点A到直线l的距离为d=.　

∴S_△=2(5+m),从而S_△²=4(1－m)(5+m)²

=2(2－2m)·(5+m)(5+m)≤2()³=128.

∴S_△≤8,当且仅当2－2m=5+m,即m=－1时取等号.

故直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面积为8 .

11.解:(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线　 1C　　　.

当l的斜率存在时， 设直线l的方程为y－2=k(x－1),代入C的方程，并整理得

(2－k²)x²+2(k²－2k)x－k²+4k－6=0  ①

(ⅰ)当2－k²=0,即k=±时，方程 ① 有一个根，l与C有一个交点

(ⅱ)当2－k²≠0,即k≠±时

Δ=［2(k²－2k)］²－4(2－k²)(－k²+4k－6)=16(3－2k)

①当Δ=0,即3－2k=0,k=时，方程(^*)有一个实根，l与C有一个交点.

②当Δ＞0,即k＜,又k≠±,

故当k＜－或－＜k＜或＜k＜时，方程 ①有两不等实根，l与C有两个交点.

③当Δ＜0，即k＞时，方程 ①无解，l与C无交点.

综上知：当k=±,或k=，或k不存在时，l与C只有一个交点；

当＜k＜,或－＜k＜,或k＜－时，l与C有两个交点；

当k＞时，l与C没有交点.

(2)假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)，则2x₁²－y₁²=2,2x₂²－y₂²=2两式相减得：2(x₁－x₂)(x₁+x₂)=(y₁－y₂)(y₁+y₂)　又∵x₁+x₂=2,y₁+y₂=2 ,　 ∴2(x₁－x₂)=y₁－y₁　 ,　　即k_AB==2

但渐近线斜率为±,结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在.

12.解:利用椭圆的定义、等差数列的定义，处理直线与圆锥曲线的方法.　

 (1)由椭圆定义及条件知，2a=F₁B+F₂B=10,得a=5,又c=4,所以b==3　故椭圆方程为=1.

(2)由点B(4,y_B)在椭圆上，得F₂B=y_B=.因为椭圆右准线方程为x=,离心率为，根据椭圆定义，有F₂A=(－x₁),F₂C=(－x₂)，由F₂A、F₂B、F₂C成等差数列，得　(－x₁)+(－x₂)=2×,由此得出：x₁+x₂=8.　 设弦AC的中点为P(x₀,y₀),则x₀==4.

(3)解析法一：由A(x₁,y₁),C(x₂,y₂)在椭圆上.

① ②

得　 　　　　　　　　　　　　　　,　①－②得9(x₁²－x₂²)+25(y₁²－y₂²)=0,

即9×=0(x₁≠x₂)

 将 (k≠0)

代入上式，得9×4+25y₀(－)=0(k≠0)　即k=y₀(当k=0时也成立).

由点P(4，y₀)在弦AC的垂直平分线上，得y₀=4k+m,所以m=y₀－4k=y₀－y₀=－y₀.

由点P(4，y₀)在线段BB′(B′与B关于x轴对称)的内部，得－＜y₀＜,所以－＜m＜.

解析法二：因为弦AC的中点为P(4,y₀)，所以直线AC的方程为y－y₀=－(x－4)(k≠0)　 ③　,

　 将③代入椭圆方程=1,得(9k²+25)x²－50(ky₀+4)x+25(ky₀+4)²－25×9k²=0

所以x₁+x₂==8,解析得k=y₀.(当k=0时也成立)

(以下同解析法一).

13.解: （I）由点A（2，8）在抛物线上，有,　 解得. 所以抛物线方程为，焦点F的坐标为（8，0）

　　（II）如图，由F（8，0）是的重心，M是BC的中点，所以F是线段AM的定比分点，且

　　设点M的坐标为，则 　解得

　　所以点M的坐标为

（III）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在的直线不垂直于x轴．

 设BC所成直线的方程为  

　　由消x得  　 所以

　　由（II）的结论得 ,　解得　,因此BC所在直线的方程为 　　即 .

14.解:（1）由题意，可设椭圆的方程为．由已知得　

解得.　所以椭圆的方程为，离心率．

（2）〖解〗由（1）可得A（3，0）．设直线PQ的方程为．由方程组

　得

依题意，得．

设，则 ，　　 ①　．　　②

由直线PQ的方程得．于是

．　　③

∵，∴．　　④

由①、②、③、④得，从而．

所以直线PQ的方程为或

（3）证明：．由已知得方程组

　 注意，解得　因，

故 ．

而，所以.

15.解:(Ⅰ) 由题设有m>0， .设点P的坐标为由得

, 化简得　　　　　 ①　 将①与联立,解得　由m>0. 得m≥1.　　所以m的取值范围是m≥1.

(Ⅱ)准线L的方程为设点Q的坐标为则　

　 ②　　将代入②,化简得

 由题设得  无解,

将代入②,化简得　 由题设得 解得m=2.

从而得到PF₂的方程,　

16.解:（Ⅰ）将直线的方程代入双曲线C的方程后，整理得．…………①　 依题意，直线与双曲线C的右支交于不同两点，得

，

，

，

．　解得的取值范围为．

（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为、，则由①得

， ．………………②

假设存在实数，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c,0），则由FA⊥FB得

．即．

整理得　．……………………③

把②式及代入③式化简得　．

解得或（舍去）．

可知使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点．

17.解:设直线方程为y＝kx＋2，

把它代入x²＋2y²＝2

整理得　(2k²＋1)x²＋8kx＋6＝0

要使直线和椭圆有两个不同交点，则Δ＞0，即

k＜－，

设直线与椭圆两个交点为A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，中点坐标为C(x，y)，则

x＝

y＝

从参数方程 (k＜－或k＞)

消去k得　x²＋2(y－1)²＝2

且｜x｜＜，0＜y＜．

综上，所求轨迹方程为，其中，

18.解:线段AB所在直线方程为x＋y＝3，与方程y＝－x²＋mx－1消去y得：

x²－(m＋1)x＋4＝0

曲线C与线段AB有两个交点的充要条件是该方程在[0，3］上有两个不同解，

令f(x)＝x²－(m＋1)x＋4，则

19.解(1) 椭圆方程为．

焦点坐标为F₁(－)，F₂()，

离心率e＝．

(Ⅱ)【证明】将直线CD的方程y＝k₁x代入椭圆方程，得

b²x²＋a²(k₁x－r)²＝a²b²，

整理得(b²＋a²k₁²)x²－2k₁a²rx＋(a²r²－a²b²)＝0．

根据韦达定理，得x₁＋x₂＝

所以　　　　　　①

将直线GH的方程y＝k₂x代入椭圆方程，同理可得

．　　　　　　　②

由①，②得．

所以结论成立．

(Ⅲ)【证明】设点P(p，0)，点Q(q，0)．

由C，P，H共线，得，解得p＝．

由D，Q，G共线，同理可得q＝．

由变形得

－，

即－．

所以p＝q，即OP＝OQ．

所以结论成立．

20.解(1)设过P(1，2)点的直线为y－2＝k(x－1)代入双曲线方程得

(2－k²)x²＋(2k²－4k)x－(k²－4k＋6)＝0

由AB中点为P(1，2)

∴ x₁＋x₂＝＝2，解得k＝1，

又k＝1时，使Δ＝16＞0，从而直线AB方程为x－y＋1＝0

(2)【证明】按同样方法求得k＝2，而k＝2使此时Δ＜0，所以直线CD不存在

21.解:设椭圆方程＝1(a＞b＞0)

∵e＝　∴a²＝4b²，即a＝2b

∴椭圆方程为＝1

把直线方程代入化简得5x²－8x＋4－4b²＝0

设M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，则

x₁＋x₂＝，x₁x₂＝(4－4b²)

∴y₁y₂＝(1－x₁)(1－x₂)＝1－(x₁＋x₂)＋x₁x₂＝(1－4b²)

由于OM⊥ON　∴x₁x₂＋y₁y₂＝0

解得b²＝，a²＝

所以椭圆方程为x²＋y²＝1．

22.解:设B、C关于直线y＝kx＋3对称，直线BC方程为x＝－ky＋m代入y²＝4x得，

y²＋4ky－4m＝0，

设B(x₁，y₁)、C(x₂，y₂)，BC中点M(x₀，y₀)，则

y₀＝＝－2k，x₀＝2k²＋m

∵点M(x₀，y₀)在直线l上，

∴－2k＝k(2k²＋m)＋3，

∴m＝－

又BC与抛物线交于不同两点，

∴Δ＝16k²＋16m＞0，

把m代入化简得 ＜0

即＜0，

解得－1＜k＜0．

23.解:由题意可知：直角边BA，BC不可能垂直或平行于x轴．故可设BC边所在直线方程为y＝kx＋1(不妨设k＜0，则BA边所在直线方程为y＝－x＋1．

∵ 消去y得：

(1＋a²k²)x²＋2a²kx＝0

解得x₁＝0，x₂＝－

∴｜BC｜＝｜x₁－x₂｜＝

用－代替上式中的k得｜AB｜＝

由｜BC｜＝｜BA｜，得｜k｜(a²＋k²)＝1＋a²k²

注意到k＜0得

(k＋1)[k²＋(a²－1)k＋1］＝0　　　　　　　①

当(a²－1)²－4＜0即1＜a＜时，①有惟一解k＝－1；

当a＝时，①有惟一解k＝－1；

当a＞时，①有三个不同的解．

综上所述：当1＜a≤时，只能作出一个三角形；当a＞时，能作出三个三角形．

24.解:依题意e＝．

(1)∵－c＝

∴a＝3，c＝2，b＝1，

又F₁(0，－2)，对应的准线方程为y＝－．

∴椭圆中心在原点，所求方程为x²＋y²＝1

(2)假设存在直线l，依题意l交椭圆所得弦MN被x＝－平分，∴直线l的斜率

存在．设直线l：y＝kx＋m

由 消去y，整理得

(k²＋9)x²＋2kmx＋m²－9＝0

∵l与椭圆交于不同的两点M，N，

∴Δ＝4k²m²－4(k²＋9)(m²－9)＞0

即m²－k²－9＜0　　　　　　　　　 ①

设M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)

∴，

∴m＝　　　　　　　　 ②

把②代入①式中得

－(k²＋9)＜0

∴k＞或k＜－

∴直线l倾斜角α∈(，)∪(，)