高中二年级下册期中考试数学试题

命题人：沈红刚

(时间100分钟　　 满分100分)

卷I　　 选择题

一、选择题：(本大题共10小题，每小题4分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1．点A在直线l上，l在平面α外，用符号表示正确的是　　　　　　　 （　　）

（A）A∈l，lα（B）A∈l，lα　（C）Al，lα　（D）Al，l∈α

2．以下四个结论：① 若aα, bβ，则a, b为异面直线；

② 若aα, bα，则a, b为异面直线；

③ 没有公共点的两条直线是平行直线；

④ 两条不平行的直线就一定相交。其中正确答案的个数是　　 （　　）

（A）0个　　 （B）1个　　（C）2个　　 （D）3个

3．已知P为△ABC所在平面α外一点，PA=PB=PC，则P点在平面α内的射影一定是△ABC的　 (　　)

A、内心　　B、外心　　C、垂心　　D、重心

4．下面叙述正确的是（ 　　）

A．过平面外一点只能作一条直线与这个平面平行

B．过直线外一点只能作一个平面与这条直线平行

C．过平面外一点只能作一个平面与这个平面垂直

D．过直线外一点只能作一个平面与这条直线垂直

5．(如右图)正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AC与B₁D所成的

角为（　 ）

A、　　 B、　　 C、　　  D、

6．直线a与平面α所成的角为30^o，直线b在平面α内，若直线a与b所成的角为，

则　　 (　 )

A、0º<≤30º　B、0º<≤90º　C、30º≤≤90º　　D、30º≤≤180º

7．已知三个平面OAB、OBC、OAC相交于点O，，则交线OA与平面OBC所成的角的余弦值是（ 　 ）

A．　　　  B．　　　　C．　　　 D．

8．有共同底边的等边三角形和所在平面互相垂直，则异面直线和所成角的余弦值为　　　 （　 ）

A．　　　　  B．　　　　  C．　　　　　 D．

9．正方体中截面和截面所成的二面角的大小为（　 ）

A．　　　　B．　　　　 C．　　  D．

10．已知平面平面，和是夹在、间的两条线段，，直线与成角，则线段的最小值是　　　　　　　　　　　　  （　　　 ）

A．　　　　 B．　　　　　 C．　　　　 D．

卷II　　主观题

一、选择题答案：

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
答案

二．填空题（本大题4小题，每小题4分，共16分）

11．在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝BC＝3，AA₁＝4，则异面直线AB₁与 A₁D所成的角的余弦值为　　　　　　　　

12.如图，是边长为的正方形，和都与平面垂直，

且，设平面与平面所成二面角为，

则　　　　　

13．正四面体V—ABC的棱长为2，E，F，G，H分别是VA，VB，

BC，AC的中点，则四边形EFGH面积是________________ 。

14、已知m、n是不同的直线，、是不重合的平面，给出下列命题：

(1) 若，则　(2) 若，则；

(3) 若，则；(4)、是一对异面直线且， 若，则，其中，真命题的编号是_____（写出所有正确结论的编号）.

三．解答题: 本大题共5个小题，共44分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15．（本小题满分8分）已知ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=，E、F是

侧棱PD、PC的中点。 （1）求证：EF∥平面PAB ；

（2）求直线PC与底面ABCD所成角的正切值。

16、(本小题满分8分)已知P为△ABC所在平面外的一点，PC⊥AB，PC＝AB＝2，E、F分别为PA和BC的中点；（1）求EF与PC所成的角；

（2）求线段EF的长

17．(本小题满分8分)如图，正方体中，E是的中点，

求BE与平面所成角的余弦值。

18．（本小题满分10分）已知平行六面体中，各条棱长均为，底面是正方形，且，设，，，

（1）用、、表示及求；（2）求异面直线与所成的角的余弦值。

19．（本题满分10分）如图，在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁，中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动.（1）证明：D₁E⊥A₁D;

（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD₁的距离；

（3）AE等于何值时，二面角D₁—EC－D的大小为.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

高中二年级期中考试数学试题参考解答

普通班BABDD　 CABDA 　　11．　　 12.　 13．　　14.③④

15、解：证明：（1）

证明：（2）连结AC，因为PA平面ABCD，所以就为直线PC与平面ABCD所成的角。即

又因为正方形ABCD的边长为，所以AC=，

所以

16、解：设PB的中点为G，连接FG，EG，则FG∥PC且FG＝PC，EG∥AB且EG＝AB

故∠GFE为EF与PC所成的角，∠EGF为PC与AB所成的角　　　　∵　　PC⊥AB　　

∴　∠EGF＝90°　　又EG＝GF＝1　　　　　∴　　∠GFE＝45°　　　EF＝

17．解：以D为原点，DA、DC、DD分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系。

可求得平面的法向量为=（1，-1，0），设是BE与平面所成的角，

则=。

18．解：（1）　 ……2分

　 ……2分

　　 ……2分

（2）　　……2分

　……1分

异面直线与所成的角的余弦值是。　　……1分

19、解法一（1）∵AE⊥平面AA₁DD₁，A₁D⊥AD₁，∴D₁E⊥A₁D．

（2）设点E到面ACD₁的距离为h，在△ACD₁中，AC=CD₁=，AD₁=，

故

（3）过D作DH⊥CE于H，连D₁H、DE，则D₁H⊥CE，∴∠DHD₁为二面角D₁—EC—D的平面角.设AE=x，则BE=2－x，

解法二以D为坐标原点，直线DA，DC，DD₁分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）

（1）即DA₁⊥D₁E.

（2）因为E为AB的中点，则，

设平面ACD₁的法向量为，则,即得

从而，所以点E到平面AD₁C的距离为

 （3）设平面D₁EC的法向量，∴

由　令b=1, ∴c=2,a=2－x，∴依题意∴（不合，舍去），

∴AE=时，二面角D₁—EC—D的大小为.　

四川省蓬安中学高中二年级期中考试数学试题(重点班)

(时间100分钟　　 满分100分)

卷I　　 选择题

一、选择题：(本大题共10小题，每小题4分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1．若aα， bβ，α∩β=c，a∩b=M，则（　　）

A、M∈c　　　　　　　B、Mc 　　　C、Mc　 　　　　　　　D、Mβ

2．已知P为△ABC所在平面α外一点，PA=PB=PC，则P点在平面α内的射影一定是△ABC的　 (　　)

A、内心　　B、外心　　C、垂心　　D、重心

3．EF是异面直线a、b的公垂线，直线l∥EF，则l与a、b交点的个数为　 （　　）

A、0　　 B、1　　 C、0或1　　 D、0，1或2

4．正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E为A₁C₁的中点，则直线CE垂直于　(　 )

A、直线AC　　 B、直线B₁D₁　　C、直线A₁D₁  D、直线A₁A

5．已知α，β是平面，m，n是直线.下列命题中不正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α　　　　　　　　　　　　　B．若m⊥α，，则α⊥β

C．若m⊥α，m⊥β，则α∥β　　　　　　　　　　　　　D．若m∥α，α∩β=n，则m∥n

6．在北纬圈上有甲、乙两地,甲地位于东经,乙地位于西经,则地球

(半径为R)表面上甲、乙两地的最短距离是

A. 　　　　　  B. 　　　　　　 C. 　　　　　 D.

7．有共同底边的等边三角形和所在平面互相垂直，则异面直线和所成角的余弦值为　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　 ）

A．　　　　  B．　　　　  C．　　　　　 D．

8．菱形的边长为分别在上，且

，沿与把菱形的两个锐角对折起来，使两点重合，这时点到平面的距离为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  （　）

A．　　　　  B．　　  C．　　　　 D．

9．正方体中截面和截面所成的二面角的大小为（　 ）

A．　　　  B．　　　　 C．　　  D．

10.半径为4的球面上有A、B、C、D四点，且AB，AC，AD两两互相垂直，则、、面积之和的最大值为　　　　　　　　　 （　　 ）　　　　　　　　

A．8　　　　　　　　　　　　　　　 B．16　　　　　　　　　　　C．32　　　　　　　　　　　D．64

卷II　　主观题

一、选择题答案：

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
答案

二．填空题（本大题4小题，每小题4分，共16分）

11．已知平面平面，和是夹在、间的两条线段，，，直线与成角，则线段的最小值是_______

12.如图，是边长为的正方形，和都与平面垂直，且，设平面与平面所成二面角为，则　　　　　

13．把一组邻边分别为1和的矩形ABCD沿对角线AC折成直二面角B—AC—D且使A、B、C、D四点在同一球面上，则该球的体积为　　　　　　　 

14．正三棱锥S－ABC侧棱长为2a，侧面等腰三角形顶角为30°，E、F分别是侧棱SB、SC上的点，则截面ΔAEF周长的最小值是　　 　 　　 。

三．解答题: 本大题共5个小题，共44分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15．（本小题满分8分）已知ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=，E、F是侧棱PD、PC的中点。 （1）求证：EF∥平面PAB ；

（2）求直线PC与底面ABCD所成角的正切值。

16．(本小题满分8分)已知P为△ABC所在平面外的一点，PC⊥AB，PC＝AB＝2，E、F分别为PA和BC的中点；（1）求EF与PC所成的角；

（2）求线段EF的长

17．(本小题满分8分)如图，正方体中，E是的中点，求BE与平面所成角的余弦值。

18．（本小题满分10分）已知平行六面体中，各条棱长均为，底面是正方形，且，设，，，

（1）用、、表示及求；（2）求异面直线与所成的角的余弦值。

19．(本题满分10分)

　　　 如图，在直三棱柱ABC – A₁B₁C₁中，∠ACB = 90°，CB = 1，CA =，AA₁ =，

M为侧棱CC₁上一点，AM⊥BA₁．

　 （Ⅰ）求证：AM⊥平面A₁BC；

　 （Ⅱ）求二面角B – AM – C的大小；

　 （Ⅲ）求点C到平面ABM的距离．

四川省蓬安中学高中二年级期中考试数学试题参考解答

 (重点班)ABCBD　 CBADC　 11． 　　 12.　 13　　　　　 14．

15、解：证明：（1）

证明：（2）连结AC，因为PA平面ABCD，所以就为直线PC与平面ABCD所成的角。即

又因为正方形ABCD的边长为，所以AC=，

所以

16、解：设PB的中点为G，连接FG，EG，则FG∥PC且FG＝PC，EG∥AB且EG＝AB

故∠GFE为EF与PC所成的角，∠EGF为PC与AB所成的角　　　　∵　　PC⊥AB　　

∴　∠EGF＝90°　　又EG＝GF＝1　　　　　∴　　∠GFE＝45°　　　EF＝

17．解：以D为原点，DA、DC、DD分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系。

可求得平面的法向量为=（1，-1，0），设是BE与平面所成的角，

则=。

18．解：（1）　 ……2分

　 ……2分

　　 ……2分

（2）　　……2分

　……1分

异面直线与所成的角的余弦值是。　 ……1分

19．证明：（Ⅰ）在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，

易知面ACC₁A₁⊥面ABC，∵∠ACB = 90°，

∴BC⊥面ACC₁A₁，∵AM 面ACC₁A₁ ∴BC⊥AM　∵AM⊥BA₁，且BC∩BA₁ = B　 ∴AM⊥平面A₁BC　　　　　　

解：（Ⅱ）设AM与A₁C的交点为O，连结BO，由（Ⅰ）可知AM⊥OB，且AM⊥OC，所以∠BOC为二面角B—AM—C的平面角，在Rt△ACM和Rt△A₁AC中，∠OAC +∠ACO = 90°，

∴∠AA₁C =∠MAC　∴Rt△ACM ~Rt△A₁AC

∴AC² = MC · AA₁∴MC =　　　　　　　　

∴在Rt△ACM中，AM =　∵AC · MC =AM · CO  ∴CO = 1　∴在Rt△BCO中，tanBOC = ∴∠BOC = 45°，故所求二面角的大小为45°　　　　　　　

　（Ⅲ）设点C到平面ABM的距离为h，易知BO =，可知S_△ABM =· AM · BO =×　 ∵V_{C – ABM} = V_{M – ABC}　 ∴hS_△ABM =MC ·S_△ABC

∴h =　∴点C到平面ABM的距离为　　　　　　　　　　　

解法二：（Ⅰ）同解法一　　　　　　　　　

（Ⅱ）如图以C为原点，CA，CB，CC₁所在直线　

分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

则A (，0，0)，A₁(，0，)，B (0，1，0)，

设M (0，0，z₁)　　　　∵AM⊥BA₁．

∴，即– 3 + 0 +z₁ = 0，故z₁ =，

所以M (0，0，)　　　　　

设向量m = (x，y，z)为平面AMB的法向量，则m⊥，m⊥，则

即，令x = 1，平面AMB的一个法向量为m = (1，，)，　　显然向量是平面AMC的一个法向量

cos < m，，易知，m与所夹的角等于二面角B—AM—C的大小，故所求二面角的大小为45°．　 　　　

（Ⅲ）所求距离为：，　　 即点C到平面ABM的距离为