高二年级理科数学第二学期第二次月考
数学试卷（理科）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1、设随机变量
~
，且
，则
。
2、已知（3x+2y）+(5x-y)i=17-2i (x,y∈R)，则x=________，y=_________.
3、对于线性回归方程
，当
时，
的估计值为 。
4、已知
,则(
的值等于
。
5、利用数学归纳法证明“
”时，从“
”变到“
”时，左边应增乘的因式是_____________________ 。
6、曲线的极坐标方程
化为直角坐标方程为
。
7、设
把直线
变换为自身，则
，
8、设z=x+yi（
），且
的最小值是_________．
9、黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：
则第n个图案中有白色地面砖 块。
10、某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班的3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为 。
11、已知
的展开式中第五项的系数与第三项的系数之比为
10：1，则展开式中含
的项为
。
12、一盒中有9个正品和3个废品，每次取一个产品，取出后不再放回.在取得正品前已取出的废品数ξ的期望Eξ= .
13、
的展开式中有且仅有5个有理项，则最小自然数n等于
。
14、某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6
个部分（如图），现要求栽种4种不同颜色的花，
每部分栽种1种，且相邻部分不能栽种同种颜色的
花，不同的栽种方法有______种。
二、解答题（本大题共6小题，共90分）
15、（本题14分）已知
（a＞0），复数
，若w的虚部减去它的实部所得的差等于
，求
的模.
16、（本题14分）在二项式
的展开式中，第6项与第7的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．
17、（本题14分）在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人。女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动。
（1）根据以上数据建立一个
列联表；
（2）判断休闲方式与性别是否有关。
（参考公式：
参考数据： 
，
）
18、（本题16分）（1）已知矩阵
，向量
，求
；
（2）若矩阵A有特征值
，它们所对应的特征向量分别为
和
，①求矩阵A及其逆矩阵
；②已知，试求
.
19、（本题16分）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．
（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；
（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
（Ⅲ）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望．
20、（本题16分）是否存在常数a、b,使得等式：
对一切正整数n都成立？并证明你的结论。
答案：
1、
2、x=1，y=7 3、390 4、
5、
6、
7、
8、
9、4n+2
10、
11、12
12、0.3 13、
14、
分析:这个问题是用四种颜色涂6个区域，经分析必须要用到四种颜色（全部用，颜色种数分类不行）因此我们要把6个区域分成4组（每一组涂一色），相邻区域不能分在同一组，所以1号区域单独一组，其余三个区域只能分成2、2、1三组，也就是这五个区域有一个区域单独一组，可分为2、3、4、5、6号五种情况：
每种情况都有
。然后对每一种情况再进行涂色，比如2与4，3与5同色，我们只须涂1、2、3、6共 总共由。
15、解：∵
∴
∴w的实部为
，虚部为
由已知得：
∴
即
又
.
16、解：二项式的展开式的通项
,
∵
,∴
,∴n=8,
∴当
时, 二项式系数
最大, ∴
;
设第
项系数最大，则有
,∴
∴
,∴
.
∴系数最大的项为
.
17、解：（1）列联表为
|
| 看电视 | 运动 | 总计 | ||||
| 女 | 43 | 27 | 70 | ||||
| 男 | 21 | 33 | 54 | ||||
| 总计 | 64 | 60 | 124 |
（2）提出假设
：休闲方式与性别无关，根据列联表中的数据，可以求得
因为当成立时，，
所以我们由
把握认为休闲方式与性别有关系。
18、解：（1）
(2)
19、（Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件
，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件
．由于事件
相互独立，且
，
．
故取出的4个球均为黑球的概率为
．
（Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件
，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件
．由于事件
互斥，
且
，
．
故取出的4个球中恰有1个红球的概率为
．
（Ⅲ）解：
可能的取值为
．由（Ⅰ），（Ⅱ）得
，
，
．从而
．
的分布列为
|
| 0 | 1 | 2 | 3 |
|
|
|
|
|
|
的数学期望
．
20、解:令n=1,2,并整理得
以下用数学归纳法证明: 
(1)当n=1时,由上面解法知结论正确.
(2)假设当n=k时结论正确,即: 
则当n=k+1时,
故当n=k+1时,结论也成立.
根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论都成立.