第八章　圆锥曲线方程(一)

椭圆与双曲线

●知识网络

●范题精讲

【例1】 已知椭圆的两焦点为F₁(0，－1)、F₂(0，1)，直线y=4是椭圆的一条准线.

(1)求椭圆方程；

(2)设点P在椭圆上，且PF₁－PF₂=1，求tan∠F₁PF₂的值.

解析:本题考查椭圆的基本性质及解题的综合能力.

(1)设椭圆方程为+=1(a>b>0).

由题设知c=1，=4,∴a²=4,b²=a²－c²=3.

∴所求椭圆方程为+=1.

(2)由(1)知a²=4,a=2.

由椭圆定义知PF₁+PF₂=4，又PF₁－PF₂=1,

∴PF₁=，PF₂=.

又F₁F₂=2c=2,

由余弦定理cos∠F₁PF₂===.

∴tan∠F₁PF₂===.

【例2】 已知双曲线x²－=1,过点A(2，1)的直线l与已知双曲线交于P₁、P₂两点.

(1)求线段P₁P₂的中点P的轨迹方程；

(2)过点B(1，1)能否作直线l′,使l′与已知双曲线交于两点Q₁、Q₂，且B是线段Q₁Q₂的中点?请说明理由.

(1)解法一:设点P₁、P₂的坐标分别为(x₁，y₁)、(x₂，y₂)，中点P的坐标为(x,y),则有x₁²－=1,x₂²－=1,两式相减，得

2(x₁+x₂)(x₁－x₂)=(y₁+y₂)(y₁－y₂).

当x₁≠x₂,y≠0时,

由x₁+x₂=2x,y₁+y₂=2y,

得=.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

又由P₁、P₂、P、A四点共线，

得=.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

由①②得=,

即2x²－y²－4x+y=0.

当x₁=x₂时，x=2,y=0满足此方程，故中点P的轨迹方程是2x²－y²－4x+y=0.

解法二:设点P₁、P₂、中点P的坐标分别为(x₁,y₁)、(x₂,y₂)、(x,y),

直线l的方程为y=k(x－2)+1,将l方程代入双曲线x²－=1中，

得(2－k²)x²+2k(2k－1)x+2k²－3=0,

则x₁+x₂=,x₁x₂=,

y₁+y₂=k(x₁+x₂)+2－4k=.

于是　　　　　　 

当y≠0时，由①②得k=.将其代入①，整理得2x²－y²－4x+y=0.当l倾斜角为90°时，P点坐标为(2，0)仍满足此方程，故中点P的轨迹方程为2x²－y²－4x+y=0.

(2)解:假设满足题设条件的直线l′存在，Q₁、Q₂的坐标分别为(x₃,y₃)、(x₄,y₄),同(1)得2(x₃+x₄)(x₃－x₄)=(y₃+y₄)(y₃－y₄).

∵x₃+x₄=2,y₃+y₄=2,

∴=2(x₃≠x₄),

即l′的斜率为2.

∴l′的直线方程为y－1=2(x－1)，

即y=2x－1.

∵方程组无解，与假设矛盾,

∴满足条件的直线l′不存在.

【例3】 如下图，已知△OFQ的面积为S，且·=1，

(1)若S的范围为<S<2,求向量与的夹角θ的取值范围；

(2)设=c(c≥2),S=c,若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点Q，当取得最小值时，求此椭圆的方程.

分析:本题考查向量的基本知识、三角知识及最值问题在解析几何中的综合运用.

解:(1)∵·=1,∴··cosθ=1.

又··sin(180°－θ)=S,

∴tanθ=2S,S=.

又<S<2,∴<<2,即1<tanθ<4,

∴<θ<arctan4.

(2)以所在的直线为x轴，以的过O点的垂线为y轴建立直角坐标系(如下图).

∴O(0,0),F(c,0),Q(x₀,y₀).

设椭圆方程为+=1.

又·=1，S=c,

∴(c,0)·(x₀－c,y₀)=1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

·c·y₀=c.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　 ②

由①得c(x₀－c)=1x₀=c+.

由②得y₀=.

∴==.

∵c≥2,

∴当c=2时，_min==,

此时Q(，±)，F(2，0).

代入椭圆方程得

∴a²=10,b²=6.

∴椭圆方程为.

评析:新知识(向量)在几何中的应用是值得关注的趋势.

●试题详解

高中同步测控优化训练(十一)

第八章  圆锥曲线方程(一)(A卷)

说明:本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.

第Ⅰ卷(选择题　共30分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)

1.椭圆2x²+3y²=6的焦距是

A.2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.2(－)

C.2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.2(+)

解析:将2x²+3y²=6化为标准方程为+=1，

∴a²=3,b²=2,c²=3－2=1，

焦距2c=2×1=2.

答案:A

2.方程4x²+Ry²=1的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则R的取值范围是

A.R>0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.0<R<2

C.0<R<4　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.2<R<4

解析:将方程变为+=1,由已知可得<,∴0<R<4.

答案:C

3.已知点M在椭圆上，椭圆方程为+=1,M点到左准线的距离为2.5，则它到右焦点的距离为

A.7.5　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B.12.5

C.2.5　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.8.5

解析:∵a=5,b=4,∴c=3.

两准线间的距离为2·=2×=.

M到左准线的距离为2.5，则M到右准线的距离为－2.5=.

设椭圆右焦点为F，

则==,∴MF=8.5.

答案:D

4.若双曲线－=1的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率是

A.2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.3

C.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.

解析:由2b=a+c得4b²=a²+2ac+c²,

即3c²－2ac－5a²=0,∴3e²－2e－5=0.∴e=.

答案:D

5.双曲线－=1的两焦点为F₁、F₂，点P在双曲线上，且直线PF₁、PF₂倾斜角之差为,则△PF₁F₂的面积为

A.16　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B.32

C.32　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.42

解析:由题意可知PF₁－PF₂=6，∠F₁PF₂=,F₁F₂=10.

由余弦定理，得F₁F₂²=(PF₁－PF₂)²+PF₁·PF₂,

∴PF₁·PF₂=64.

∴S=×64sin=16,选A.

答案:A

6.以椭圆+=1的焦点为焦点，离心率e=2的双曲线方程是

A.－=1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B.－=1

C.－=1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.－=1

解析:a²=25,b²=9,则c²=16,c=4,椭圆焦点坐标为(4，0)、(－4，0).

双曲线的焦点仍为(4，0)、(－4，0)，由于e=2,c=4,

∴a=2,b²=c²－a²=12.

∴双曲线方程为－=1.

答案:D

7.已知双曲线－=1和椭圆+=1(a>0,m>b>0)的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边的三角形是

A.锐角三角形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B.直角三角形

C.钝角三角形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.等腰三角形

解析:双曲线－=1的离心率e₁==，

椭圆的离心率e₂=.

∵e₁与e₂互为倒数，∴e₁e₂=1,

即·=1,整理得a²+b²=m².

∴以a、b、m为边的三角形是直角三角形.

答案:B

8.方程=x+y－2表示的曲线是

A.椭圆　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B.双曲线

C.抛物线　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.不能确定

解析:数形结合法.动点P(x,y)到定点(－1,－1)和定直线x+y－2=0距离之比为.

答案:B

9.若椭圆+=1(m>n>0)和双曲线－=1(a>b>0)有相同的焦点F₁、F₂，P是两条曲线的一个交点，则PF₁·PF₂的值是

A.m－a　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.(m－a)

C.m²－a² D.－

解析:PF₁+PF₂=2,PF₁－PF₂=2,

∴PF₁=+ ,PF₂=－.

∴PF₁·PF₂=m－a.

答案:A

10.已知F₁、F₂为椭圆+=1(a＞b＞0)的焦点,M为椭圆上一点,MF₁垂直于x轴,且∠F₁MF₂=60°,则椭圆的离心率为

A.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

分析:本题考查如何求椭圆的离心率.

解:∵MF₁⊥x轴,∴M点的横坐标为x_M=－c.把x_M代入椭圆方程+=1中,得y_M=,如下图所示.

在Rt△MF₁F₂中,tan∠F₁MF₂===,

即2ac=b².∴a²－2ac－c²=0.

每一项都除以a²,得－2e－e²=0,

解得e₁=或e₂=－ (舍).

答案:C

第Ⅱ卷(非选择题　共70分)

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)

11.若椭圆的两个焦点为F₁(－4，0)、F₂(4，0)，椭圆的弦AB过点F₁，且△ABF₂的周长为20，那么该椭圆的方程为__________.

解析:△ABF₂的周长:AF₂+AF₁+BF₂+BF₁=2a+2a=4a=20,

∴a=5.又∵c=4,∴b=3.

∴椭圆的方程为+=1.

答案: +=1

12.已知P是椭圆上的一点，F₁、F₂是椭圆的两个焦点，∠PF₁F₂=90°,∠PF₂F₁=30°,则椭圆的离心率是__________.

解析:因为e===,

于是在△PF₁F₂中，由正弦定理知e==.

答案:

13.经过点M(10, ),渐近线方程为y=±x的双曲线方程为__________.

分析:本题考查依据条件求双曲线的方程.

解:设双曲线的方程为(x－3y)(x+3y)=m(m∈R,且m≠0),

因双曲线过点M(10,),所以有(10－3×)(10+3×)=m,得m=36.

所以双曲线方程为x²－9y²=36,即－=1.

答案: －=1

14.方程+=1表示的曲线为C，给出下列四个命题:

①曲线C不可能是圆；

②若1<k<4,则曲线C为椭圆；

③若曲线C为双曲线，则k<1或k>4；

④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1<k<.

其中正确的命题是__________.

解析:当4－k=k－1,即k=时表示圆，否定命题①,显然k=∈(1,4),

∴否定命题②；若曲线C为双曲线，则有(4－k)(k－1)<0,即4<k或k<1,故命题③正确；若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则4－k>k－1>0,解得1<k<,说明命题④正确.

答案:③④

三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.(本小题满分8分)设椭圆的中心为坐标原点，它在x轴上的一个焦点与短轴两端点连成60°的角，两准线间的距离等于8，求椭圆方程.

解:依题意，设所求椭圆方程为+=1,

∵椭圆右焦点F(c,0)与短轴两端点A、B连成60°的角，

如图，则∠AFB=60°,△AFB为等边三角形，

于是有a=2b.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

又由两准线间的距离等于8，得=8.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

联立①②两方程，解得a=6,b=3.

故所求椭圆方程为+ =1.

16.(本小题满分10分)已知椭圆+=1,过点P(2，1)引一条弦，使它在这点被平分，求此弦所在的直线方程.

解:如图，设弦与椭圆的两交点坐标为A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂).又P(2,1),

∴　　　　　

①－②得(x₁－x₂)(x₁+x₂)+4(y₁－y₂)(y₁+y₂)=0,

∴=－=－=－=k_AB.

∴l_AB的方程为y－1=－(x－2).

17.(本小题满分12分)求以椭圆+=1的顶点为焦点,且一条渐近线的倾斜角为的双曲线方程.

分析:已知渐近线方程为bx±ay=0,中心在原点,求双曲线的方程.可设双曲线方程为　b²x²－a²y²=λ(λ≠0),根据其他条件,确定λ的正负.

解:椭圆的顶点坐标为(±8,0)、(0,±4).

∵双曲线渐近线方程为x±y=0,

则可设双曲线方程为x²－3y²=k(k≠0)，

即－=1.

若以(±8,0)为焦点,则k+=64,得k=48,双曲线方程为－=1；

若以(0,±4)为焦点,则－－k=16,得k=－12,双曲线方程为－=1.

18.(本小题满分12分)如下图，双曲线－=1(b∈N^*)的两个焦点为F₁、F₂，P为双曲线上一点，OP<5,PF₁、F₁F₂、PF₂成等差数列，求此双曲线方程.

解:∵PF₁、F₁F₂、PF₂成等差数列，

∴PF₁+PF₂=2F₁F₂=4c.

又PF₁－PF₂=2a=4,

∴PF₁=2c+2,PF₂=2c－2.

根据中线定理有PF₁²+PF₂²=2(PO²+F₁O²)<2(5²+c²),

∴(2c+2)²+(2c－2)²<2(5²+c²).

∴8c²+8<50+2c².

∴c²<7,

即4+b²<7.∴b²<3.又b∈N^*,∴b=1.

∴所求双曲线方程为－y²=1.

19.(本小题满分12分)在△ABC中,已知B(－2,0)、C(2,0),AD⊥BC于点D,△ABC的垂心为H,且=.

(1)求点H(x,y)的轨迹G的方程；

(2)已知P(－1,0)、Q(1,0),M是曲线G上的一点,那么,,能成等差数列吗?若能,求出M点的坐标；若不能,请说明理由.

(1)解:∵H点坐标为(x,y),则D点坐标为(x,0),

由定比分点坐标公式可知,A点的坐标为(x,y).

∴=(x+2,y),=(x－2,y).

由BH⊥CA知x²－4+y²=0,即+ =1,

∴G的方程为+=1(y≠0).

(2)解法一:显然P、Q恰好为G的两个焦点,

∴+=4,=2.

若,,成等差数列,则+==1.

∴·= +=4.

由可得==2,

∴M点为+=1的短轴端点.

∴当M点的坐标为(0, )或(0,－)时,,,成等差数列.

解法二:设M点的坐标为(x,y),

显然P、Q恰好为+ =1的两个焦点,

∴+=4, =2.

∵,,成等差数列,

∴+==1.

由椭圆第二定义可得=a+ex,=a－ex,

∴+=1.解得x=0.

∴M点的坐标为(0, )或(0,－).

∴当M点的坐标为(0, )或(0,－)时,,,成等差数列.