高中学生学科素质训练

新课标高二数学同步测试（1）（必修5第三章）

说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷50分，第二卷100分，共150分；答题时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共50分）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．

1．若a<b,d<c,并且(c-a)(c-b)<0,(d-a)(d-b)>0,则a、b、c、d的大小关系是　　 （　　）

　　　 A．d<a<c<b 　　　 B.a<c<b<d　　　　 C.a<d<b<c　　　　 D.a<d<c<b

2．若实数a、b满足a+b=2，是3^a+3^b的最小值是　　　　　　　　　　  .... 　　　 （　　）

　　　A．18　　　　　　　　　B．6 　　　　　　　　 C．2　 　　　　　　 D．2

3．在上满足，则的取值范围是　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　　　　B．　　　　　　 C．　　　　D．

4．若关于的方程有解，则实数的取值范围是　　　　　　 （　　）

　　　 A．　 　　　　　　　B． 　 

　　　 C．　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　D．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　5．如果方程的两个实根一个小于‒1，另一个大于1，那么实数

　　　 m的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　 　　B．（－2，0） 　　　　 C．（－2，1）　　　　 D．（0，1）

6．在三个结论：①，②　

　　　 ③，其中正确的个数是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．0　　 　　　　　　　 B．1 　　　　　　　　 C．2　　　　　　　　　　D．3

7．若角α，β满足－＜α＜β＜，则2α－β的取值范围是　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．（－π，0）　　　　B．（－π，π）　　　 C．（－，）　　 D．（－，）

8．设且，则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

A．　　　　　　　　　　　　　 B．　

C．　 　　　　　　　　　　　　D．

9．目标函数，变量满足，则有　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　  　　　　　　　　　B．无最小值

　　　 C．无最大值　　　　 　　　　　 D．既无最大值，也无最小值

10．设M=,且a+b+c=1，(a、b、c∈R⁺)，则M的取值范围是 （　　）

　　　A．[0,]　　 　　　　B．[,1]　　　　　　　C．[1,8]　　　　　　 D．[8,+∞）

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．

11．设0<x≤3,1<y≤2005,是x-y的最大值与最小值的和是　　　　　　　　　  ．

12．设　　　　　　　 ．

13．若方程有一个正根和一个负根，则实数

　　　 的取值范围是__________________．

14．f(x)的图象是如图两条线段，它的定义域是，则不等

　　　 式 的解集是　　　　　　　　　　　 ．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)．

15．（12分）（1）设a，b，x，y∈R，且a²＋b²＝1，x²＋y²＝1，求证：ax＋by≤1；

（2已知a、b是不等正数，且a³－b³= a²－b²求证：1< a +b<．

16．（12分）解关于x的不等式ax²－(a＋1)x＋1＜0．

17．（12分）（1）求的最小值；

　 （2）若，且，求的最大值．

18．（12分）若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x>0满足

　 （1）求的值； （2）若，解不等式

19．（14分）要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格小钢板的块数如下表所示：

类　　型	A规格	B规格	C规格
第一种钢板	1	2	1
第二种钢板	1	1	3

每张钢板的面积,第一种为,第二种为,今需要A、B、C三种规格的成品各12、15、27块,问各截这两种钢板多少张,可得所需三种规格成品,且使所用钢板面积最小？

　　

20．（14分）（1）设不等式2x－1＞m(x²－1)对满足m≤2的一切实数m的取值都成立，求x的取值范围；

　 （2）是否存在m使得不等式2x－1＞m(x²－1)对满足x≤2的一切实数x的取值都成立．

参考答案（一）

一、ABDDD　 DCACD

二、11．2008；12．；13．；14．。

三、15．（1）证明：∵a²＋x²≥2ax，b²＋y²≥2by，

　　 ∴a²＋x²＋b²＋y²≥2(ax＋by)，∴ax＋by≤＝1。

　　　　 又∵a²＋x²≥－2ax，b²＋y²≥－2by，

　　　 ∴a²＋x²＋b²＋y²≥－2(ax＋by)，∴ax＋by≥－＝－1。

　　　 ∴ax＋by≤1。

（2）证明：



　　　

16．解：当a＝0时，不等式的解为x＞1；当a≠0时，分解因式a(x－)(x－1)＜0

　　　　 当a＜0时，原不等式等价于(x－)(x－1)＞0，不等式的解为x＞1或x＜；

　　　　 当0＜a＜1时，1＜，不等式的解为1＜x＜；

　　　　 当a＞1时，＜1，不等式的解为＜x＜1；

　　　　 当a＝1时，不等式的解为　　　。

17．解：（1）解法一：

　　　　 令，则

　　　　 令，

　　　　 显然只有一个大于或等于2的根，

　　　　

　　　　 即，即的最小值是。

解法二：

　　　　 令

　　　　 利用图象迭加，可得其图象（如下图）

　　　　

　　　　 当时，递增，。

　　　　 （2）

　　　　

　　　　 当时，的最大值为

18．解： 则

　　　

　　　　 即　

　　　 ∴

　　　　 又在是增函数，则 .

19．解：设需截第一种钢板张,第二种钢板张,所用钢板面积为,

则有

　　　　 作出可行域(如图)

　　　　 目标函数为

　　　　 作出一组平行直线(t为参数).由得由于点不是可行域内的整数点,而在可行域内的整数点中,点(4,8)和点(6,7)使最小,且.

答:应截第一种钢板4张,第二种钢板8张,或第一种钢板6张,第二种钢板7张,得所需三种规格的钢板,且使所用的钢板的面积最小.

20．(1)解：令f(m)＝2x－1－m(x²－1)＝(1－x²)m＋2x－1，可看成是一条直线，且使m≤2的一切

　　　　 实数都有2x－1＞m(x²－1)成立。

　　　　 所以，，即，即

　　　　 所以，。

　　　 (2) 令f(x)= 2x－1－m(x²－1)= －mx²+2x+(m－1)，使x≤2的一切实数都有2x－1＞m(x²－1)成立。

　　　　 当时，f(x)= 2x－1在时，f(x)。（不满足题意）

　　　　 当时，f(x)只需满足下式：

　　　 或或

　　　　 解之得结果为空集。

　　　　 故没有m满足题意。