高中学生学科素质训练
新课标高二数学同步测试(2)(必修5第三章)
说明:本试卷分第一卷和第二卷两部分,第一卷50分,第二卷100分,共150分;答题时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题共50分)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在题后的括号内(每小题5分,共50分).
1.若,且,则下列不等式一定成立的是 ( )
A. B.
C. D.
2.若,则下列不等关系中,不能成立的是 ( )
A. B. C. D.
3.若关于的不等式对任意恒成立,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.已知实数x,y满足x2+y2=1,则(1-xy)(1+xy)有 ( )
A.最小值和最大值1 B.最小值和最大值1
C.最小值和最大值 D.最小值1
5.设x > 0, y > 0,, , a 与b的大小关系 ( )
A.a >b B.a <b C.a b D.a b
6.若关于的不等式内有解,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.若时总有则实数的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
8.甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点,甲有一半时间以速度m行走,另一半时间
以速度n行走;有一半路程乙以速度m行走,另一半路程以速度n行走,如果m ¹ n,甲
乙两人谁先到达指定地点 ( )
A.甲 B.乙 C.甲乙同时到达 D.无法判断
9.设满足约束条件组,求的最大值和最小值( )
A.8,3 B.4,
10.设f(x)是奇函数,对任意的实数x、y,有
则f(x)在区间[a,b]上 ( )
A.有最大值f (a) B.有最小值f (a)
C.有最大值 D.有最小值
第Ⅱ卷(非选择题,共100分)
二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题6分,共24分).
11.已知,求的取值范围 .
12.已知 .
13.函数的值域为 .
14.要挖一个面积为
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分).
15.(12分)已知a, b都是正数,并且a ¹ b,求证:a5 + b5 > a2b3 + a3b2
16.(12分)设a>0, b>0,且a + b = 1,求证:.
17.(12分)设且,求的最大值.
18.(12分)已知的三边长满足,,求的取值范围.
19.(14分)一变压器的铁芯截面为正十字型,为保证所需的磁通量,要求十字应具有 的面积,问应如何设计十字型宽及长,才能使其外接圆的周长最短,这样可使绕在铁芯上的铜线最节省.
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若 ,求实数a的取值范围.
参考答案(二)
一、DBABB ADACB
二、11.; 12.8; 13.; 14.长
三、15.证:(a5 + b5 ) - (a2b3 + a3b2)
= ( a
= a3 (a2 - b2 ) - b3 (a2 - b2) = (a2 - b2 ) (a3 - b3)
= (a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2)
∵a, b都是正数,∴a + b, a2 + ab + b2 > 0
又∵a ¹ b,∴(a - b)2 > 0 ∴(a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2) > 0
即:a5 + b5 > a2b3 + a3b2
16.证:∵ ∴ ∴
∴
17.解:∵ ∴
又 ∴
即
18.解:解:设,,则,
作出平面区域(如右图),
由图知:,,
∴,即.
19.解:设由条件知:
即
设外接圆的半径为R,即求R的最小值,
等号成立时,
∴当时R2最小,即R最小,从而周长最小,
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20.解 的意义是方程有解,
且至少有一解在区间内,但直接求解情况比较多,如果考虑“补集”,
则解法较简单.
设全集
且的两根都在[1,4]内}
记 ∴方程的两根都在[1,4]内
,∴所求实数a的取值范围是