武汉中学高二下学期数学总复习试题(2)

武汉中学　 柏任俊

一、选择题：

1.地球表面上从A地(北纬45°，东经120°)到B地(北纬45°，东经30°)的最短距离为（地球半径为R）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　 ）

A. R　　　　　　　　　　　 B.　　　　　　　　　 C. 　　　　　　　　　　　　 D.

2.已知是异面直线，有下面四个结论：　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　 ）

⑴ 必存在平面过且与平行；⑵ 必存在平面过且与垂直；

⑶ 必存在平面与都垂直；　⑷ 必存在平面与距离都相等。

A、⑴⑵　　　B、⑴⑷　　　 C、⑴⑶　　　 D ⑵⑶

3. 一个棱长都为a的正三棱柱的六个顶点全部在同一个球面上, 则此球的表面积为　 （　 ）

A. 　 B. 　C. 　 D.

4.从－3，－2，－1，1，2，3中任取三个不同的数作为椭圆方程中的系数，则确定不同椭圆的个数为　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　（ 　）

　　　 A．20　　　 B．18　　　　C．9　　　　　 D． 16

5.使得多项式能被5整除的最小自然数为 　　　　　（ 　）

　　A．1　　　　  　 B．2　　　　 　　 C．3　　　　 　　 D．4

6.如果A、B是互斥事件，则下列结论中：①A+B是必然事件；②是必然事件；③与是互斥事件；④A与不是互斥事件。其中正确的是　　　　　　　　　  　　　（　 ）

A. ①②　 B. ①③　 C. ②③　 D. ②④

7.一袋中装有只黑球和只白球（），它们的大小相同，编号不同，现在把球随机地一只一只摸出来，若第次和第次（）摸出的球是黑球的概率分别是和，则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  （　 ）

A. 　 B. 　C. 　 D. 和的大小与球数有关

8.不同的5种商品在货架上排成一排，其中甲乙两种恰好相邻排在一起，且丙丁两种不相邻的概率为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　 ）

A. 　 B. 　 C. 　 D.  

9.从某一条生产线上每隔30分钟取一件产品，共取了件，测得其尺寸后，画出其频率分布

直方图（见右），若尺寸在[15，45]内的频数

为46，则尺寸在[20，25]内的产品个数为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　 ）

（A）5个（B）10个（C）15个（D）20个

10 15 20 25

0.04

0.016

产品尺寸

10.若函数在内既有极大值又有极小值，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　 ）

A. 　B. 　C. 或　D. 或

二、填空题：

11. 给出下列4个命题：①过平面外一点，作与该平面成角的直线一定有无穷多条；②一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行；③对确定的两条异面直线，过空间任意一点有且只有一个平面与这两条异面直线都平行；④对两条异面的直线，都存在无穷多个平面与这两条直线所成的角相等。

其中正确命题的序号有___________(请把所有正确命题的序号都填上).

12.在直二面角中，直线，与成30⁰角，与成45⁰角，则异面直线与所成角的余弦值为__________________.

13.如图，正四面体ABCD的棱长为1，平面过棱AB，且CD∥α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积是　　　　　.

14.已知数列{a_n}，(n∈N^*)是首项为a₁，公比为q的等比数列，则　　a₁C—a₂C+a₃C=______，　a₁C—a₂C+a₃C—a₄C=___________________.

由上述结果归纳概括出关于正整数n的一个结论是___________________________________ .

15.甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n个白球.现从甲，乙两袋中各任取2个球.若取到的4个球中至少有2个红球的概率为，则n=__________.

16.下面是一个样本容量为的样本:　7, 5, 8, 10, 10. 则该样本的数学期望 ( 即平均数 )

为　 　　　　　, 方差为　　　　　　  .

三、解答题：

17.如图：直平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁，底面ABCD是边长为2a的菱形，∠BAD=60⁰，E为AB中点，二面角A₁-ED-A为60⁰.（I）求证：平面A₁ED⊥平面ABB₁A₁；（II）求二面角A₁ – ED - C₁的余弦值；（III）求点C₁到平面A₁ED的距离。

18..某电路中有红灯、绿灯各一只，当开关闭合后，便有红灯和绿灯闪动，并且每次有且仅有一只灯亮，设第一次出现红灯和绿灯的概率相等，从第二次起，前次出现红灯后接着出现红灯的概率是，前次出现绿灯后接着出现红灯的概率是．求：（Ⅰ）第二次出现红灯的概率；

（Ⅱ）三次发光，红灯出现一次，绿灯出现两次的概率．

19.在一次由三人参加的围棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛按以下规则进行；第一局：甲对乙；第二局：第一局胜者对丙；第三局：第二局胜者对第一局败者；第四局：第三局胜者对第二局败者，求：（1）乙连胜四局的概率；

（2）丙连胜三局的概率．

20.从原点出发的某质点M，按向量，按向量移动的概率为，设M可到达点（0，n）的概率为P_n.（1）求P₁和P₂的值；（2）求证：；（3）求P_n的表达式.

21.已知函数.（I）当时，求函数的极小值；

 （II）试讨论曲线与轴的公共点的个数。

22. 有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割、焊接成一个长方体无盖容器（切、焊损耗忽略不计），有人应用数学知识作了如下设计：如图（a），在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高为小正方形边长，如图（b）

（I）请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积V；

（II）由于上述设计存在缺陷（材料有所浪费），请你重新设计切焊方法，使材料浪费减少，而且所得长方体容器的容积V ₂>V₁.

　　　　　　　　 　 x　

　　　　 x

图（a）　　　  　　　　 图（b）

参考答案：

CBABC　 DBCBD

11.【答案】②④；12.【答案】；13.【答案】；14.【答案】a₁(1—q)²；a₁(1—q)³ ；a₁C—a₂C+a₃C—a₄C+……+(—1)ⁿ a_n+1C=a₁(1—q)ⁿ.；15.【答案】；16.【答案】8；3.6 .

17.解：（I）　 证明：连结BD，在菱形ABCD中，∠BAD=60⁰，

∴△ABD为正三角形，

∵E为AB的中点，∴ED⊥AB　（1分）

在直六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中：平面ABB₁A₁⊥平面ABCD且交于AB，

∵ED面ABCD∴ED⊥面ABB₁A₁ （2分）

∴平面A₁ED⊥平面ABB₁A₁ （3分）

（II）解： 由（I）知：ED⊥面ABB₁A₁

∵A₁E面ABB₁A₁ ∴A₁E⊥ED

又在直平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中：AA₁⊥面ABCD，

由三垂线定理的逆定理知：AE⊥ED，∴∠A₁EA=60⁰ （4分）

取BB₁的中点F，连EF、AB₁，则EF，

在直平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中：AB₁DC₁∴EF

∴E、F、C₁、D四点共面（5分）

∵ED⊥面ABB₁A₁且EF面ABB₁A₁

∴EF⊥ED　　 ∴∠A₁EF为二面角A₁-ED-C₁的平面角（6分）

在Rt△EBF中：，

在Rt△A₁AE中：，

在Rt△A₁B₁F中：（7分）

∴在Rt△A₁EF中：

∴二面角A₁-ED-C₁的余弦值为（8分）

（III）过F作FG⊥A₁E交A₁E于G点

∵平面A₁ED⊥面ABB₁A₁　　且平面A₁ED∩面ABB₁A₁=A₁E

∴FG⊥平面A₁ED，即：FG是点F到平面A₁ED的距离（10分）

在Rt△EGF中：

∴ 　∴（11分）

∵EF且E、D∈面A₁ED，∴点C₁到平面A₁ED的距离为（12分）

18.解：由于第一次出现红灯和绿灯的概率相等，由等可能事件的概率知，第一次出现红灯和绿灯的概率均为，由对立事件的概率可知，从第二次起，前次出现红灯后接着出现红灯的概率是，则接着出现绿灯的概率是；前次出现绿灯后接着出现红灯的概率是，则接着出现绿灯的概率是．　　　　　　　（2分）

　　　（Ⅰ）；　　　　　　　　　（7分）

　　 （Ⅱ）．　（13分）

19.解：（1）当乙连胜四局时，对阵情况如下：

　　第一局：甲对乙，乙胜；第二局：乙对丙，乙胜；第三局：乙对甲，乙胜；第四局：乙对丙，乙胜．

　　所求概率为＝×＝＝0.09∴　乙连胜四局的概率为0.09．

　　（2）丙连胜三局的对阵情况如下：

　　第一局：甲对乙，甲胜，或乙胜．

　　当甲胜时，第二局：甲对丙，丙胜．第三局：丙对乙，丙胜；第四局：丙对甲，丙胜．

　　当乙胜时，第二局：乙对丙，丙胜；第三局：丙对甲，丙胜；第四局：丙对乙，丙胜．

故丙三连胜的概率＝0.4××0.5＋（1-0.4）××0.6＝0.162.

20.解：（1）

（2）M到达（0，n+2）有两种情况

（3）数列为公比的等比数列

21解：（I）………………2分

　　  　当或时，；当时，

　 在，（1，内单调递增，在内单调递减…………4分

　　 故的极小值为　……………………………………5分

（II）①若则　的图象与轴只有一个交点。……6分

②若则，当时，，当时，

的极大值为

的极小值为　的图象与轴有三个公共点。

③若，则.

 当时，，当时，

的图象与轴只有一个交点

④若，则 的图象与轴只有一个交点

⑤当，由（I）知的极大值为

综上所述，若的图象与轴只有一个公共点；

若，的图象与轴有三个公共点。

22.解：（I）设切去正方形边长为x，则焊接成的长方体的底面边长为4—2x,高为x,

所以V₁=(4－2x)·x=(4x－ 4x+4x),(0<x<2).

∴ =4(3x－8x+4)，令=0,得x=, x=2(舍去)

而=12(x－)(x－2),

又当x<时, V’>0,当<x<2时, V’<0,

∴当x=时, V₁取最大值……………………………………6分

（II）重新设计方案如下：

如图①，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图②，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间；如图③，将图②焊成长方体容器。

新焊长方体容器底面是长方形，长为3，宽为2，此长方体容积

V₂=3×2×1=6，显然V₂>V₁

故第二种方案符合要求。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3　　　　

　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

图①　　　　　　　　　　　　 图②　　　　　　　　　 图③

另外还可以如图④及如图⑤

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 

　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

图④　　　　　　　　　　 图⑤

V=2×4×=> V　　　　　

V=××=> V