武汉中学高二下学期数学总复习试题(8)
武汉中学 柏任俊
一．选择题（每题5分，共50分）
1．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A．至少有1个白球，都是白球 B．至少有1个白球，至少有1个红球
C．恰有1个白球，恰有2个白球 D．至少有1个白球，都是红球
2．在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，设
，则x＋y＋z等于( )
A．1 B． C． D．
3.(1－3x＋2y)n展开式中不含y的项的系数和为( )
A、2n B、－2n C、(－2)n D、1
4.在正三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA=
，则此正三棱锥S-ABC外接球的表面积是（ ）
A. 12π B. 32π C. 36π D. 48
5．在某一试验中事件A出现的概率为
，则在
次试验中
出现
次的概率为（ ）
（A） 1－
（B） 
（C） 1－
（D） 
6．下列命题中
（1）若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面；
（2）在空间，两条直线没有公共点是这两条直线平行的充分不必要条件；
（3）若直线
与平面
、
满足条件：
且
，则
；
（4）底面为矩形，且有两个侧面是矩形的平行六面体是长方体。
其中真命题的个数为（ ）
1个
2个
3个
4
7．要从10名女生与5名男生中选取6名学生组成6名课外兴趣味小组，如果按性别分层随机抽样，试问组成课外兴趣小组的概率是 （ ）
A．
B．
C．
D．
8．如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a=（1，0，1），
b=（0，1，1），那么这条斜线与平面所成的角是 （ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
9．有一排7只发光二级管，每只二级管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3只二级管点亮，但相邻的两只二级管不能同时点亮，根据这三只点亮的二级管的不同位置或不同颜色来表示不同的信息，则这排二级管能表示的信息种数共有 （ ）
Ａ．10 Ｂ．48 Ｃ．60 Ｄ．80
10．甲、乙两地都在北纬45
的纬线上，甲地在东经69
，乙地在西经21
，则甲、乙两地在纬度圈上的劣弧长与它们在地球表面的球面距离之比为( )
(A) 3
：4
(B) 
：3
(C) 3：2
(D)
：
二．填空题（每题5分，共30分）
11．某学校共有学生4500名，其中初中生1500名，高中生3000名，用分层抽样法抽取一个容量为300的样本，那么初中生应抽取 名．
12．半径为10的球面上有A、B、C三点， AB = 6， BC =8 ， CA =10 ，则球心O到平面ABC的距离是________．
13．
展开式中第9项为常数，则n的值为
．
14．已知每个人的血清中含有乙型肝炎病毒的概率为3‰，混合100人的血清，则混合血清中有乙型肝炎病毒的概率约为
. (参考数据：0.996100≈0.6698，0.997100≈0.7405，0.998100≈0.8186)
15．如图，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°且PA＝AB＝BC＝a，
则异面直线PB与AC所成角的正切值等于________．
16．已知m、n是直线，α、β、γ是平面，给出下列命题：
①若α⊥β，α∩β=m，n⊥m ，则n⊥α或n⊥β；
②若α∥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m∥n；
③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；
④若α∩β=m，n∥m，且nËα，nËβ，则n∥α且n∥β．
其中正确的命题序号是 ．(注：把你认为正确的命题的序号都填上)
答题卷
一、选择题
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答案 |
二填空题11._____12._____13._____14._____15._____16._____
三．解答题
17．（本小题满分12分）某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，问一次考试中：
（1）三科成绩均未获得第一名的概率是多少？
（2）恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？
18．（本小题满分14分）已知()n展开式中的倒数第三项的系数为45，
求：⑴含x3的项；⑵系数最大的项．
19．(本小题满分14分)
已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的底面是直角三角形，∠C=90°，侧棱与底面所成的角为α (0°＜α＜90°)，点
在底面上的射影
落在
上．
(1)求证：AC⊥平面BB1C1C；
(2)若AB1⊥BC1，D为BC的中点，求α ；
(3)若α = arccos ，且AC=BC=AA1时，求二面角C1—AB—C的大小．
20．（本小题满分14分）
一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球．
（1）从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；
（2）从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两球恰好颜色不同的概率．
21．（本题共16分）
已知四棱锥P－ABCD的体积为
,PC
底面ABCD, 
ABC
和ACD都是边长为1的等边三角形,点E分侧棱PA所成的
比
．
(1)当
为何值时,能使平面BDE平面ABCD?并给出证明；
(2)当平面BDE平面ABCD时,求P点到平面BDE的距离；
(3)当=1时,求二面角A－BE－D的大小．
参考答案
一．1-5 CDCCD 6-10 AABDA
二．11．100 12.
13.12 14.0.2595 15. 16.2,4
三．17．解 分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A、B、C，则P(A)=0.9，P(B)=0.8，P(C)=0.85．
(1)
=[1-P(A)]·[1-P(B)]·[1-P(C)]
=(1-0.9)×(1-0.8)×(1-0.85)
=0.003
答：三科成绩均未获得第一名的概率是0.003．
(2)P(
)
= P(
=
=[1-P(A)]·P(B)·P(C)+P(A)·[1-P(B)]·P(C)+P(A)·P(B)·[1-P(C)]
=(1-0.9)×0.8×0.85+0.9×(1-0.8)×0.85+0.9×0.8×(1-0.85) =0.329．
答：恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329．
18．解：⑴由题设知
⑵系数最大的项为中间项，即
19．解 (1)∵ B1D⊥平面ABC， AC
平面ABC，
∴ B1D⊥AC， 又AC⊥BC，
BC∩B1D=D．
∴ AC⊥平面BB1C1C．
(2) ∵ AC⊥平面BB1C1C ，AB1⊥BC1 ，由三垂线定理可知，
B1C⊥BC1．
∴ 平行四边形BB1C1C为菱形，此时，BC=BB1．
又∵ B1D⊥BC，D为BC中点，B1C= B1B，∴△BB1C为正三角形，
∴ ∠B1BC= 60°．
(3)过C1作C1E⊥BC于E，则C1E⊥平面ABC．
过E作EF⊥AB于F，C1F，由三垂线定理，得C1F⊥AB．
∴∠C1FE是所求二面角C1—AB—C的平面角．
设AC=BC=AA1=a，
在Rt△CC1E中，由∠C1BE=α=
，C1E=
a．
在Rt△BEF中，∠EBF=45°，EF=
BE=a．
∴∠C1FE=45°，故所求的二面角C1—AB—C为45°．
解法二：(1)同解法一
(2)要使AB1⊥BC1，D是BC的中点，即
=0，=，
∴
， 
=0，∴
．
∴
，故△BB1C为正三角形，∠B1BC=60°；
∵ B1D⊥平面ABC，且D落在BC上，
∴ ∠B1BC即为侧棱与底面所成的角．
故当α=60°时，AB1⊥BC1，且D为BC中点．
(3)以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，经过C点且垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，则A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(0，-
，a)，
平面ABC的法向量n1=(0，0，1)，设平面ABC1的法向量n2=(x，y，z)．
由
n2=0，及
n2=0，得
∴n2=(
，，1)．
cos＜n1， n2＞= = ，
故n1 ， n2所成的角为45°，即所求的二面角为45
20．解析：（1）记“摸出两个球，两球恰好颜色不同”为A，摸出两个球共有方法
种，
其中，两球一白一黑有
种． ∴ 
．
（2）法一：记摸出一球，放回后再摸出一个球“两球恰好颜色不同”为B，摸出一球得白球的概率为
，摸出一球得黑球的概率为
∴ P（B）＝0.4×0.6＋0.6×0.4＝0.48
法二：“有放回摸两次，颜色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”．
∴ 
∴“有放回摸两次，颜色不同”的概率为0.48．
21．解：（1）依题设，底面ABCD为菱形，设AC
BD＝O，连结
OE，则OE⊥BD．若平面BDE⊥平面ABCD，则OE⊥平面ABCD，
∵CP⊥平面ABCD，∴OE‖CP．
∵O为AC中点，∴E为PA中点，且
．
（2）由（1）知，OE⊥平面ABCD，CP‖OE，CP‖平面BDE，
故P到平面BDE的距离即为C到平面BDE的距离，易证CO⊥
平面BDE，∴CO即为C到平面BDE的距离，
而CO＝
AC＝，∴点P到平面BDE的距离为．
说明 亦可化为求点A到平面BDE的距离．
（3）
时，即有平面BDE⊥平面ABCD，交线为BD，∵AO⊥BD，AO
平面ABCD，∴AO⊥平面BDE，过O作OQ⊥BE于Q，连结QA，则由三垂线定理知QA⊥BE，
∴∠AQO就是二面角A－BE－D的平面角．
在RtΔBOE中，∵OE＝PC＝，OB＝
AB＝，∴BE＝
，
故由
得，
．
在RtΔAOQ中，
，即二面角A－BE－D的大小为