武汉中学高二下学期数学总复习试题(4)

武汉中学　 柏任俊

一、选择题：

1.已知m、n、l为直线，α、β、γ为平面，有下列四个命题

　　　 ①若；　　　　　　　　 ②

　　　 ③；　　　　　　　　　　④

　　　 其中正确命题的个数是　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　  （ 　）

　　　 A．0　　　　　　　　　　　　B．1　　　　　　　　　　　　C．2　　　　　　　　　　　　D．3

2.设地球的半径为，若甲地位于北纬东经，乙地位于南纬东经，则甲、乙两地的球面距离为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  （ 　）

A．　　　 　 B．　　　　C．　　　 　D．

3.如右图所示，在单位正方体

的面对角线上存在一点使得最

短，则的最小值为　 　　　 （　 ）

A．2　 B．　 C．　　  D．

4.从四种不同的顔色中选取若干种顔色给正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的六个面涂色，要求相邻两个面涂不同的顔色，则共有涂色方法有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （ 　）

　 A．24种　　　　  B．72种　　　　　　 C．96种　　　D．48种　　　

5. 1！+2·2！+3·3！+…n·n！=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  （ 　）

A、（n+1）!-1　　B、（n+1）！　　C、（n+1）！+1　　D、（n+2）！

6.某人的密码箱上的密码是一种五位数字号码，每位上的数字可在0到9这10个数字中选取，该人记得箱子的密码1，3，5位均为0，而忘记了2，4位上的数字，只有随意按下2，4位上的数字，则他按对2，4位上的数字的概率是　　　　 　　　　　　　　　　　　 （ 　）

　　　A．　　　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　　　　　　D．

7.由正方体的八个顶点中的两个所确定的所有直线中，取出两条，这两条直线是异面直线的概率为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （ 　）

A．  　　B． 　　C．　　　　D． 　 

8.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是 （ 　）

A. 至少有1个白球, 都是白球　　　　　　  B. 至少有1个白球, 至少有1个红球

C. 恰有1个白球, 恰有2个白球　　　　  　D. 至少有1个白球, 都是红球

9.如果的方差为3，那么2、2、2、2、2、2的方差是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  （ 　）

　　　 A．0　　　　　　　　　　　　B．3　　　　　　　　　　　　C．6　　　　　　　　　　　　D．12

10.已知函数f(x)＝x³+ax²，过曲线y＝f(x) 上一点P(－1，b) 且平行于直线3x+y＝0的切线方程为　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  （ 　）

A．3x+y－1＝0　　　B．3x+y+1＝0　　　 C．3x－y＋1＝0 　　D．3x+y－2＝0

二、填空题：

11.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC,有如下四个结论：（1）ACBD ；（2）ACD为等边三角形；（3）AB与面BCD所成的角为；（4）AB与CD所成的角为. 其中正确的结论的序号是　　　　　 .

12.半径为2的球内接四面体A-BCD，AB、AC、AD两两互相垂直，则++的最大值为　　  .

13.已知球面上A、B两点间的球面距离是1，过这两点的球面半径的夹角为60°，则这个球的表面积与球的体积之比是　 　　　　　　　　　　 .

14.(x－ )⁸的 展开式中x²的系数为　　　　　 .

15.甲、乙两名篮球运动员，投篮的命中率分别为，设甲投4球恰好投进3球的概率

为，乙投3球恰好投进2球的概率为，则与的大小关系为_____________

16.如图是某企业近几年来关于生产销售的一张统计图表，则针对该企业近几年的销售情况，有以下几种说法：
 ①这几年的利润逐年提高；（注：利润＝销售额－总成本）
 ②2002年至2003年是销售额增长最快的一年；
 ③2003年至2004年是销售额增长最慢的一年；
 ④2004年至2005年是销售额增长最慢，但是由于总成本有所下降，因而2005年的利润比上一年仍有所增长。
　　其中说法正确的是　　　(注：把你认为正确的说法的代号都填上)．

三、解答题：

17.已知梯形中，∥，，，、分别是、上的点，∥，，是的中点。沿将梯形翻折，使平面平面(如图).（1）当时，求证：；（2）若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为，求的最大值；（3）当取得最大值时，求二面角D-BF-C的大小。

18. 10张奖券中，一等奖的有2张，二等奖的有3张，三等奖的有5张。每次从中任抽一张

  （1）连续抽取3次（每次取后不放回），求至少有一次中一等奖的概率；

　（2）连续抽取5次（每次取后放回），求第一次中一等奖，后四次中恰有2次中二等奖的概率.

19.在某次空战中，甲机先向乙机开火，击落乙机的概率时0.2；若乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率时0.3；若甲机未被击落，则再进攻乙机，击落乙机的概率时0.4，求在这个三个回合中：（1）甲机被击落的概率；（2）乙机被击落的概率。

20.设事件A发生的概率为P，若在A发生的条件下B发生的概率为P^/，则由A产生B的概率为P•P^/，根据这一规律解答下题：一种掷硬币走跳棋的游戏：棋盘上有第0，1，2，3，…，100，共101站，设棋子跳到第站的概率为，一枚棋子开始在第0站（即），由棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若硬币出现正面则棋子向前跳动一站，出现反面则向前跳动两站，直到棋子跳到第99站（获胜）或100站（失败）时，游戏结束。已知硬币出现正反面的概率都为.⑴ 求，并根据棋子跳到第站的情况，试用表示；⑵ 设，求证：数列是等比数列，并求出的通项公式；⑶ 求玩该游戏获胜的概率。

21.设是函数的两个极值点，且

（I）证明：；（II）证明：；（III）若函数，证明：当且时，

22.由原点O向三次曲线引切线，切于点P₁（x₁，y₁）（O，P₁两点不重合），再由P₁引此曲线的切线，切于点P₂（x₂，y₂）（P₁，P₂不重合）.如此继续下去，得到点列（1）求x₁；（2）求满足的关系式；（3）若a>0，试判断与a的大小关系并说明理由.

参考答案：

BDDCA  DBCDB

11.【答案】（1）（2）（4）；12.【答案】8；13.【答案】；14.【答案】70

15.【答案】,,.16.【答案】②④.

17.解:∵平面平面,AE⊥EF,∴AE⊥面平面,AE⊥EF,AE⊥BE,又BE⊥EF,故可建立空间坐标系E-xyz。则A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0），

D（0，2，2），E（0，0，0）

（1）（－2，2，2）（2，2，0）

（－2，2，2）（2，2，0）＝0，∴……4分；

（2）∵AD∥面BFC，V_A-BFC＝＝4(4-x)x

即时有最大值为。……8分

（3）设平面DBF的法向量为，∵AE=2, B（2，0，0），D（0，2，2），

F（0，3，0）,∴（－2，2，2）,

则 ，即，

取x＝3，则y＝2，z＝1，∴……11分

面BCF的一个法向量为

则cos<>=……13分

二面角D-BF-C的平面角为π-arccos……14分。

18.解:　（1）　　　　　　  （2）

19.解：设A表示“甲机被击落”这一事件，则A发生只可能在第2回合中发生，而第2回合又只能在第1回合甲失败了才可能进行，用表示第回合射击成功。B表示“乙机被击落”的事件，则　　　　　　  　　　　　　　　　　　　　　　　　（4分）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  (6分)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （8分）

。　　　　　　　　　　　　　　  （12分）

20.解：(1)，

　　　　　　　 （5分）

 　　　　　 （7分）

　　　　(2) 依题意：

∴

∴表示等比数列　　（9分

又　　  （11分）

答：(1)；(2)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  （12分）

21.解：（I）证明：是函数的两个极值点，是的　　　　　　　　　　 两个根.

，得

（II）证明：设，则， 由，　　　　　　 　得，得

在上是增函数，在上是减函数；，故

（III）证明：是的两个实根，

　　　

　　　

　　　 又

　　　 　　　故

22.解：（1）由

过曲线上点P₁（x₁，y₁）的切线L₁的斜率为

又

 

（2）过曲线上的点的切线方程是：

过曲线上点故

即：

（3）由（2）得：

故数列为首项，公比为的等比数列.

,

∵ ∴当n为偶数时：

当n为奇数时：