高二（下）期末复习（9）概率（3）

【教学目标及重点、难点】

1．突出运算能力的考查。高考中的概率题目，均是用数值给出的选择支或要求用数值作答，

　 这就要求平时要重视用有关公式进行具体的计算。

2．有关概率的实际应用问题。这种问题既考察逻辑思维能力，又考查运算能力；它要求对四

　 个概率公式的实质深刻理解并准确运用；要求计算概率，它一般以一小一大（既一道选择

　 题或填空题、一道解答题）的形式出现，属于中等偏难的题目。

3．突破此难点的关键在于：首先要运用两个基本原理认真审题，弄清楚问题属于四种类型事

　 件中的哪一种，然后准确地运用相应的公式进行计算，其中要注意排列、组合知识的应用。

【教学过程】

1．知识体系：

随机事件的概率：1等可能性事件的概率；2互斥事件的概率；3相互独立事件的概率；4独立重复实验。

2．知识重点：

等可能事件的定义及其概率公式，互斥事件的定义及其概率的加法公式，相互独立事件的定义及其概率的乘法公式，独立重复试验的定义及其概率公式。互斥事件的概率加法公式对应着分类相加计数原理的应用，相互独立事件的概率乘法公式对应着分步相乘计数原理的应用。

【例题分析】

例1、 从数字中，随机抽取个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于的概率为多少？

[思路分析] 本题的基本事件是由个不同的数字允许重复而且含的条件下组成三位数，根据乘法原理可知基本事件的全体共有个。设三个数字之和等于的事件为，则分为六类：数码组成不同的三位数有个；数码组成不同的三位数有个；数码组成不同的三位数有个；数码组成不同的三位数有个；数码组成不同的三位数有个；数码组成不同的三位数有个，根据加法原理，事件共有

个。故。

[简要评述] 本题考查等可能性事件的概率和互斥事件的概率，重点在于利用排列组合知识求各个基本事件的总数。

例2、鱼塘中共有条鱼，从中捕得条，加上标志后立即放回塘中，经过一段时间，再从塘中捕出条鱼，发现其中有条标志鱼。

（1）问其中有条标志鱼的概率是多少？（2）由此可推测塘中共有多少条鱼（即用表示）？

[思路分析] （1）由题意可知，基本事件总数为。鱼塘中的鱼分为两类：有标志的鱼条，无标志的鱼条，从而在捕出条鱼中，有标志的条鱼有种可能，同时无标志的条鱼有种可能，则捕出条鱼中有条鱼共有种可能。所以概率为。

 （2）由分层抽样可知，（条）。

[简要评述] 本题考查等可能性事件的概率和统计知识，重点要注意“鱼”的不同的分类以及抽样方法中各个元素被抽取概率的相等性。

例3、某宾馆有间客房，现要安排位旅游者，每人可以进住任意一个房间，且进住各房间是等可能的，求下列事件各的概率：（1）事件：指定的个房间各有人；（2）事件：恰有个房间各有人；（3）事件：指定的某房间中有人；（4）事件：一号房间有人，二号房间有人；（5）事件：至少有人在同一个房间。

[思路分析] 由于每人可以进住任一房间，进住哪一个房间都有种等可能的方法，根据乘法原理，个人进住个房间有种方法，则（1）指定的个房间中各有人有种方法，。

（2）恰有个房间各有人有种方法，。（3）从人中选人的方法有种，余下的人每人都可以去另外的个房间中的任一间，有种方法，。（4）从人中选人去一号房间的方法有种，从余下人中选人去二号房间的方法有，再余下的人可去个房间中的任一间，。

（5）从正面考虑情形较复杂，正难则反，“至少有人在同一个房间”的反面是“没有人在同一个房间，即恰有个房间各有人”，。

[简要评述] 本题考查等可能性事件的概率和互斥事件的概率，注意排列组合知识的运用。

例4、甲、乙、丙三人独立解某一道数学题，已知该题被甲解出而乙解不出的概率为，被乙解出而丙解不出的概率为，被甲、丙两人都解出的概率是。

（1）求该题被乙独立解出的概率；

（2）求该题被解出的概率。

[思路分析]（1）设分别为甲、乙、丙三人各自独立解某一数学题的事件。由已知则有

即由此方程组解得所以该题被乙独立解出的概率为。

（2）记为该题被解出，它对应着甲、乙、丙三人中至少有一人解出该题，则

。

 [简要评述] 本题考查相互独立事件的概率和互斥事件的概率，同时考查函数方程数学思想和运算能力。

【备选例题】

例5、某一汽车前进途中要经过个红绿灯路口。已知汽车在第一个路口，遇到红灯和遇到绿灯的概率都是；从第二个路口起，若前次遇到红灯，则下一次遇到红灯的概率是，遇到绿灯的概率是；若前一次遇到绿灯，则下一次遇到红灯的概率是，遇到绿灯的概率是。求：

（1）汽车在第二个路口遇到红灯的概率是多少？

（2）在三个路口中，汽车遇到一次红灯，两次绿灯的概率是多少？
[思路分析] 根据相互独立事件同时发生的概率的乘法公式可得，

（1）。

（2）。

 [简要评述] 本题重点考查相互独立事件的概率乘法公式的本质——同时发生，同时还考查互斥事件的概率。在具体解题中注意与递推有关的概率的计算。

【作业】

一、　　　　　　  选择题：

1．某工厂生产三种不同型号的产品，产品数量之比依次为。现用分层抽样方法抽出一个容量为的样本，样本中型号产品有件，则此样本的容量为　　　　　　 （  ）

　　　　　 　　　　 　　　　　

2．某校高三年级举行一次演讲比赛，共有位同学参赛，其中一班有位，二班有位，其他班级有位。若采取抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班的位同学没有被排在一起，而二班的位同学恰好被排在一起（指演讲的序号相连）的概率是　　 （  ）

　　　　　　　　　　 　　　　　　

3．某人射击一次命中目标的概率是，则此人射击次，有次命中目标且恰有两次连续命中的概率是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （  ）

　　　　　　　　　　 　　　　　

4．在世纪的一天，保罗与梅尔进行赌钱游戏。每人拿出枚金币，然后玩骰子，约定谁先胜三局谁就得到枚金币（每局均有胜负）。比赛开始后，保罗胜了一局，梅尔胜了两局，这时一件意外的事情中断了比赛，于是他们商量这枚金币应该怎样分配才合理。据此，你认为合理的分配方案是保罗和梅尔分别得到金币　　　　　　　　  （  ）

　枚，枚　　 枚，枚　　 枚，枚　　　枚，枚

二、　　　　　　  填空题：

5．口袋内装有个相同的小球，其中个小球标有数字，个小球标有数字。若从中摸出的小球，那么摸出的个小球所标数字之和小于或大于的概率是　　　　　　  。（）

6．抛掷一枚硬币若干次，每次正面向上得分，反面向上得分。

则恰好得到分的概率为　　　 。（）

7．已知从甲地到乙地的海底光缆有个接点，其中有一个接点发生故障，为了及时排除故障，需要尽快断定故障发生点。以三个接点为例，检查接点的方法如下：在接点处分别检查两段，若两段都有问题，则可断定点存在问题；若只有一段存在问题，则接点正常。设至少需要检查的接点数为个，则的最大值为　　　　　 。（）

三、解答题：

8．甲、乙两人参加一次测试，已知在备选的道试题中，甲能答对其中的道题，乙能答对其中的道题，规定每次测试都从备选题中随机抽取出题进行测试，至少答对题才算合格。

（1）分别求甲、乙两人测试合格的概率；

（2）求甲、乙两人中至少有一人考试合格的概率。

解 （1）甲合格的概率为，乙合格的概率为；

（2）两人中至少有一人合格的概率为。

9．设掷一颗均匀的正方体玩具两次，此玩具的六个表面分别刻有数字。

求掷得的点数之和小于的概率。

解 。　

10．在个大小相同的均匀的球中，有白球个。

 （1）不放回地逐个抽取个小球，求其中恰有个白球的概率；

（2）每次抽取后又放回地逐个抽取个小球，求其中恰有个白球的概率。

解 ；

11．甲、乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为，被甲解出而乙解不出的概率为。　

　（1）求该题被乙独立解出的概率；

　（2）求恰有人能解出这道题目的概率。

答案 （2）。