江苏省苏州中学2005~2006学年度第一学期期末考试
高二数学
一、选择题
1.椭圆上的点到左准线的距离为,则点到左焦点的距离为 ( )
A.8
B
2.直线与双曲线有且仅有一个公共点,则的取值为 ( )
A.一切实数 B.或 C. D.
3.动点在抛物线移动,则点与点的连线中点的轨迹方程为 ( )
A. B. C. D.
4.椭圆()的顶点,,焦点,若,则椭圆的离心率等于 ( )
A. B. C. D.
5.圆:与圆:的交点为,则的垂直平分线的方程为 ( )
A. B. C. D.
6.与圆:相切,且纵截距和横截距相等的直线共有 ( )
A.2条 B.3条 C.4条 D.6条
7.已知抛物线:与抛物线关于直线对称,则抛物线的准线方程是 ()
A. B. C. D.
8.设,则不论取何值,直线与直线的交点一定在 ( )
A.一个圆上 B.椭圆上 C.双曲线上 D.抛物线上
9.将4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中,恰好有一个空盒的方法数为 ()
A.96
B
10.现有8名同学,从中选出2名男生和1名女生分别参加“资源”、“生态”、“环保”三个夏令营活动,已知共有90种不同的入选方法,那么8名同学中,男生和女生的人数分别为()
A.男生2名,女生6名 B.男生3名,女生5名
C.男生5名,女生3名 D.男生6名,女生2名
二、填空题
11.8个人站成一排,甲、乙两人之间恰有4个人的排法总数为 (结果用数字回答).
12.用1,2,3,4,5这5个数字组成没有重复数字的三位数,共有 个,其中偶数有 个(结果用数字回答).
13.设是双曲线的两个焦点,离心率为,是双曲线上一点,若,,则双曲线的渐近线方程是 ,该双曲线方程为 .
14.已知点在曲线(为参数),则的最大值为 .
15.把椭圆绕左焦点按顺时针方向旋转,则所得椭圆的准线方程为 .
三、解答题
16.“渐升数”是指从左边第二位起每个数字都比前面的数字大的正整数,如125,23478等.
⑴问五位“渐升数”有多少个;
⑵首位为“1”(即1××××)的“渐升数”有多少个;
⑶前两位为“23”(即23×××)的“渐升数”有多少个;
⑷若把五位“渐升数”按从小到大的顺序排列,第100个数为多少?
(以上结果均用数字回答).
17.已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,为椭圆上一点,,,且过点作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方程.
18.已知曲线.
⑴当曲线是椭圆时,求的取值范围,并写出焦点坐标;
⑵当曲线是双曲线时,求的取值范围,并写出焦点坐标.
19.双曲线()的左焦点,右焦点. 过做倾斜角为的弦,其中,当面积最小值为时,求的值.
20.已知点,点分别在轴上滑动,且,若点为线段的中点.
⑴求动点的轨迹的方程;
⑵点,过点做直线交曲线于两点,且(),点关于轴的对称点为,已知点,求证:;
⑶过点的直线交曲线于两点,点关于轴的对称点为,求证:直线过定点,并求出定点坐标.
参考答案
一、选择题
1~10. DBCAC CACBB
二、填空题
11.4320.
12.60,24. 13.,.
三、解答题
16.⑴ ,五位“渐升数”共126个.
⑵ ,首位是“1”的五位“渐升数”有70个.
⑶ ,前两位是“23”的五位“渐升数”有20个.
⑷ ∵前两位是“24”的五位“渐升数”(24×××)有个,∴若将五位渐升数从小到大排列,第100个数为24789.
17.椭圆方程为().
由条件,知
,.
又,∴.
∴椭圆方程为.
18.⑴曲线为椭圆. 即的取值范围是.
此时,椭圆的焦点在轴上,坐标为.
⑵曲线为双曲线. 即的取值范围是.
此时,双曲线的焦点在轴上,坐标为.
19.,.
设直线的方程为:,其中.
代入双曲线的方程,并整理得
.
设,,则有
,.
.
∵,∴.
当时,取得最小值.
由条件,知
,
∵,∴.
20.⑴设,则,,
,.
∵ ,∴.
∴动点的轨迹方程为.
⑵设,,则.
由,知,
即
要证明,只要证明,
即只要证明
由②知④成立. 由①知,要证③,只要证.
只要证,只要证.
∵过点,∴可设直线的方程为,
代入,并整理得
.
由韦达定理,知.
∵③,④都成立,∴.
⑶设,,则
直线的方程为 .
∵过点,∴,∴.
∵与关于轴对称,∴.
∴直线的方程为,
∵,∴的方程为,
∴ 直线过定点.