江苏省西亭高级中学高二数学期末测试卷

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1. .动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则动圆必经过定点（）

（A）　 （B）　　  （C）　　  （D）

2. 如图，正方体ABCD-ABCD中，EF是异面直线AC和AD的公垂线，则EF和BD关系是（　　　）

　　 A．相交不垂直　　　　　  B．相交垂直

　　 C．异面直线　　　　　　  D．互相平行

3．下列命题正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　　　　　　B．

　　　 C．　　　　　　　　　　　　　　　　D．

4．过点M（－2，4）作圆C：的切线l，直线

　 与l平行，则l₁与l之间的距离是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　D．

5. 如图,在△ABC中,∠CAB=∠CBA=30°,AC、BC边上的高分别为BD、AE,则以A、B为焦点,且过D、E的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为　　　　　　　　 (　　)

　　　 A． 　　　B．1　　　　　　 C．　　D．

6．直线在轴上截距为，且它的倾斜角是直线的倾斜角的 倍，则的值分别为：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　　　　　　 B．　　　　　　C．　　　　　　　 D．

7．若双曲线的一个顶点到两条准线的距离和等于4，一个焦点到两条渐近线的距离和等于8，

　 则双曲线的离心率的值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　　D．

8．设坐标原点为O，抛物线与过焦点的直线交于A、B两点，则的值是

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　 C．3　　　　　　　　　　　　D．－3

9．是异面直线，表示平面，甲：乙：，则甲是乙的(　 )　　　　　 A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件　　 C．充要条件　　　 D．不充分不必要条件

10．过椭圆的一个焦点F作弦AB，若，，则 的数值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

A．　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．与a、b斜率有关

11．已知F₁、F₂是两个定点，点P是以F₁和F₂为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并

且PF₁⊥PF₂，e₁和e₂分别是椭圆和双曲线的离心率，则有　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

A．　　　　　　　B．　　　 C．　 D．

12. 对于抛物线 y² ＝4x上任意一点Q，点P ( a, 0 )都满足 PQ ≥ a ，则a的取值范围是

A. （－∞，0）　　B. （－∞，2 ]　　　C.　[ 0，2 ]　　　 　 D. （0，2）

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上

13. 已知，则函数的最小值为　　　 .

14．设中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且它们的离心率互为倒数,则该椭圆的方程是　　　　　　　　　　　  ;

15．椭圆上的点到直线的距离的最小值是　　　　　 ;

16．在空间四边形ABCD中，E、F分别为棱AB、CD的

中点，为EF与AC所成的角，为EF与BD所成　　　　　　　　 

的角，为使，须添加条件　　　　 .（（必

须写出两个答案）

17．已知椭圆( a > b > 0) 的离心率为，准线为、；双曲线离心率为，准线为、；；若、、、正好围成一个正方形，则等于　　 .

18. 对于四面体ABCD，给出下列四个命题：①若AB=AC，BD=CD则BC⊥AD；②若AB=CD，AC=BD则BC⊥AD；③若AB⊥AC，BD⊥CD则BC⊥AD；④若AB⊥CD， BD⊥AC则BC⊥AD；其中真命题序号是　　　　  ．

三、解答题：本大题共5小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19．（本小题满分12分）

 已知异面直线、的公垂线段AB的长为10，点、所成的角为60°，求点M到直线的距离.

20．（12分）设F₁、F₂为椭圆 的两个焦点，P为椭圆上的一点，已知P、F₁、F₂是一个直角三角形的三个顶点，且 PF₁ > PF₂ ，求的值.

21．（本小题满分14分）已知抛物线的弦AB与直线有公共点，且弦AB的中点N到轴的距离为1，求弦AB长度的最大值，并求此直线AB所在的直线的方程.

22．（本小题14分）

已知四棱锥P－ABCD的体积为,PC底面ABCD, ABC　　　

和ACD都是边长为1的等边三角形,点E分侧棱PA所成的

比 ．

(1)当为何值时,能使平面BDE平面ABCD?并给出证明；

(2)当平面BDE平面ABCD时,求P点到平面BDE的距离；

(3)当=1时,求二面角A－BE－D的大小．

23．（本小题14分）

已知双曲线过点,且它的渐近线方程是

(1)　  求双曲线的方程;

(2)　  设椭圆的中心在原点,它的短轴是双曲线的实轴,且中斜率为的弦的中点轨迹恰好是的一条渐近线截在内的部分,试求椭圆的方程.

2005—2005学年度第一学期期末

高二数学试卷参考答案

一、选择题1—6：BBBCAB　7—12：CABBDA

二、填空题13．　 14．　　15．　　  16．;AB=AD　CB=CD（若其它正确答案） 17.,18.①③

三、解答题：

17．解：设过B点与a平行的直线为c、b、c所确定的平面为α.由于AB是异面直线a、b的公垂线

…………2分

过点M作MN⊥c垂足为N，则AB//MN

，四边形ABMN是矩形

在α内过N作NC⊥b，垂足为C，连MC，由三垂线定理知MC⊥b

∴MC即为点M到b的距离………………7分

又a、b所成的角为………………9分

在Rt△BCN中，

…………12分

18．解: 设组装件产品,件产品,利润为万元

由题意得　 目标函数:　　　　　2分

　　　　约束条件:　　　　  6分

作出可行域　　　　　　　　　　　　　　　　  10分　

作出直线,平移到点A处取最大值;

由得　　最优解为　 11分

当组装2000件X产品,1000件Y产品时,该月利润最高,最高是400万元.　12分

19．解: (1)设原点O关于L：的对称点，则

的方程…………4分

（2）设

又，………………6分

由…………8分

又消去…………10分

∴椭圆的方程为………………12分

20．解：设、，中点

当AB直线的倾斜角90°时，AB直线方程是（2分）

当AB直线的倾斜角不为90°时，相减得

所以（4分）

设AB直线方程为：，由于弦AB与直线y=1有公共点，故当y=1时

（6分）

所以，故

（8分）

　

故当　（12分）

22、解　（1）依题设，底面ABCD为菱形，设ACBD＝O，连结

OE，则OE⊥BD．若平面BDE⊥平面ABCD，则OE⊥平面ABCD，

∵CP⊥平面ABCD，∴OE‖CP．

∵O为AC中点，∴E为PA中点，且．

（2）由（1）知，OE⊥平面ABCD，CP‖OE，CP‖平面BDE，

故P到平面BDE的距离即为C到平面BDE的距离，易证CO⊥

平面BDE，∴CO即为C到平面BDE的距离，

而CO＝AC＝，

∴点P到平面BDE的距离为．

说明　亦可化为求点A到平面BDE的距离．

（3）时，即有平面BDE⊥平面ABCD，交线为BD，∵AO⊥BD，AO平面ABCD，∴AO⊥平面BDE，过O作OQ⊥BE于Q，连结QA，则由三垂线定理知QA⊥BE，

∴∠AQO就是二面角A－BE－D的平面角．

在RtΔBOE中，∵OE＝PC＝，OB＝AB＝，∴BE＝，

故由得，．

在RtΔAOQ中，，即二面角A－BE－D的大小为．

22、（1）设双曲线的方程为

　 过点　　  　　 

双曲线的方程为　　　　　　 4分

　（2）由题意可设椭圆的方程为

设斜率为-4的直线与椭圆交于点， AB中点则有

　 ①　　　　　　 ②

　①-②得 　　　　

　　　　　　　　　  8分

　　  　　　　　　　　　　 10分

又　　　　　　　　　　　 

椭圆的方程为　　　　　　　　　　　　　 14分