山东省德州一中2005-2006学年

期末综合复习题(理)

命题人：王安拓

2006.1

一．选择题

1.已知椭圆，则它的离心率与准线方程是（　　 ）

（A）　　　　　 （B）

（C）　　　　  （D）

2.（ 　 ）

（A）　 （B）－　　　（C）　　（D）－

3.动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则动圆必经过定点（　 ）

（A） 　　　 （B）　　　 （C）　　　　（D）

4.抛物线到直线距离最近的点的坐标是（　　）

（A）　　  （B）　　　　（C）　　  （D）

5.若且，则的最小值是（　　）

（A）2　　　　　　 （B）3　　　　　　 （C）4　　　　　  （D）5

6.已知复数对应的点在第二象限，它的模是3，实部是，则是（　　）

（A）　　  （B）　　  （C）　　（D）

7.正的边长为，是边上的高，将沿折起使之与成

的二面角，这时点到的距离是（　　）

（A）　　　　 （B）　　　　　 （C）3　　　　　  （D）

8.设为椭圆左、右焦点，过椭圆中心任作一条直线与椭圆交于两点，当四边形面积最大时，的值等于（　　）

（A）0　　　　　  （B）1　　　　　　 （C）2　　　　  （D）4

9.双曲线两焦点为，点在双曲线上，直线的倾斜角之差为，则面积为（　　）

（A）　　　 （B）　　　　（C）32　　　　 （D）42

10.已知点，又是曲线上的点，则（　　）

（A）　　　　　 （B）

（C）　　　　　 （D）

11.设，集合，若为单元素集，则值得个数为（　　 ）

（A）1　　　　　  （B）2　　　　　　 （C）3　　　　  （D）4

12.空间四点每两点的连线都等于，动点在线段上，动点在线段上，则点与的最小距离是（　　）

（A）　　　　　  （B）　　　　  （C）　　　 　（D）

二．填空题

13.已知抛物线上两点关于直线对称，且，那么的值为______________________.

14.从双曲线上任意一点引实轴平行线交两渐近线于两点，则之值为______________________.

15.如图，在直三棱柱中，，

，点是的中点，则异面直线

和所成角的大小为________________.

16.平面相交于一点，且两两垂直，点是平面外任意一点且与平面所成的角是，则____________.

三．解答题

17.在复数范围内解方程（为虚数单位）。

18.设，是否存在关于的整式，使得等式

对大于1的一切自然数都成立？证明你的结论。

19.在棱长为4的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是正方形A₁B₁C₁D₁的中心，点P在棱CC₁上，且CC₁=4CP.

(1)求直线AP与平面BCC₁B₁所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；

(2)设O点在平面D₁AP上的射影是H，求证：D₁H⊥AP；

20.如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（），B（）

均在抛物线上。

（1）写出该抛物线的方程及其准线方程

（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值及直线AB的斜率

　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　

21.在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点.

（1）证明：AC⊥SB；

（2）求二面角N—CM—B的大小；（结果用反三角函数值表示）

（3）求点B到平面CMN的距离.

22.已知椭圆C₁的方程为，双曲线C₂的左、右焦点分别为C₁的左、右顶点，而C₂的左、右顶点分别是C₁的左、右焦点。

（1）求双曲线C₂的方程；

（2）若直线l：与椭圆C₁及双曲线C₂恒有两个不同的交点，且l与C₂的两个交点A和B满足(其中O为原点)，求k的取值范围。

期末综合复习题(理)

一．选择题

ABBBB;BACAC;DB

二．填空题

13.；14. ；15. ；16.2。

三．解答题

17. 解：原方程化简为

设代入上述方程得

解得　∴原方程的解是

18. 解：假设存在，探索，

当时，由，解得；

当时，由，解得；

当时，同样可解得；

由此猜想。

下面用数学归纳法证明：

当，时，等式成立。

事实上，

（1）当时，，结论成立；

（2）假设时结论成立，则

。

这说明时，等式也成立。

由（1）（2）知，对于大于1的自然数，存在使

恒成立。

19. 解：（1）解法一：如图所示建立空间直角坐标系。并由题上的条件知，

A(0,0,0)，B(4,0,0)，P(4,4,1)，

所以，

可以作为平面BCC₁B₁的一个法向量，

又

所以，直线AP与平面BCC₁B₁所成的角的大小为。

解法二：连结BP.

　　　　∵AB⊥平面BCC₁B₁，　∴AP与平面BCC₁B₁所成的角就是∠APB,

　　　　∵CC₁=4CP,CC₁=4，∴CP=I.

　　　　在Rt△PBC中，∠PCB为直角，BC=4，CP=1，故BP=.

　　　　在Rt△APB中，∠ABP为直角，tan∠APB=

　　　　∴∠APB=

（2）解法一：知D₁(0,4,4)，O(2,2,4)，所以,

又知，O点在平面D₁AP上的射影是H，所以

所以，

=0

所以，D₁H⊥AP。

解法二：O是正方形A₁B₁C₁D₁的中心，所以OD₁平面ACC₁A₁,所以OD₁AP.

又O点在平面D₁AP上的射影是H，根据三垂线定理，知D₁H⊥AP。

20. 解：（1）由已知条件，可设抛物线的方程为

　　点P（1，2）在抛物线上

　　，得

　　故所求抛物线的方程是

　　准线方程是

　　（2）设直线PA的斜率为，直线PB的斜率为

　　则，

　　PA与PB的斜率存在且倾斜角互补

　　

　  由A（），B（）在抛物线上，得

　  　　（1）

　  　　 （2）

　 

　  由（1）-（2）得直线AB的斜率

21. 解：（1）取AC中点O，连结OS、OB.

∵SA=SC，BA=BC，

∴AC⊥SO且AC⊥BO.

∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC

∴SO⊥面ABC，∴SO⊥BO.

如图所示建立空间直角坐标系O－xyz.

则A（2，0，0），C（－2，0，0），

S（0，0，2），B（0，2，0）.

∴=（－4，0，0），=（0，－2，2），

∵·=（－4，0，0）·（0，－2，2）=0，

∴AC⊥BS.

（2）由（Ⅰ）得M（1，，0），，，

设=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，

则　

∴可取=(－1，，－1)， 又=(0，0，2)为平面ABC的一个法向量，

∴cos(，)==

∴二面角N－CM－B的大小为arccos

（3）由（Ⅰ）（Ⅱ）得=（2，2，0），

=（－1，，－1）为平面CMN的一个法向量，

∴点B到平面CMN的距离d=

22. 解：（1）设双曲线C₂的方程为，则

故C₂的方程为

（2）将

由直线l与椭圆C₁恒有两个不同的交点得

即  　　　　　 ①

.

由直线l与双曲线C₂恒有两个不同的交点A，B得

　　　　　 

解此不等式得　　　　③

由①、②、③得

故k的取值范围为