孟州五中05－06学年下学期高二年级期中考试卷
数 学
说明：本试卷分第I卷和第II卷两部分。第I卷60分，第II卷90分，共150分，答题时间120分钟。
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题（每小题5分，共60分，请将所选答案填在答题卡上）
1、下列说法不正确的是
A,如果一条直线的两点在一个平面内,则这条直线的所有点都在这个平面内.
B,如果两个平面有一个公共点,则它们还有其他公共点,且它们都在一条直线上.
C,三点确定一个平面. D,平行于同一条直线的两条直线互相平行
2、给出下列四个命题：
（1）空间四点共面，则其中必有三点共线
（2）空间四点不共面，则其中任何三点不共线
（3）空间四点中存在三点共线，则此四点共面
（4）空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面
其中正确的有（ ）
A．（2）（3） B（1）（2）（3） C（1）（2） D（2）（3）（4）
3、球的体积是π，则此球的表面积是（ ）
A. 12π B. 16π C. π D. π
4、若点E、F、G、H顺次为空间四边形ABCD四条边AB、BC、CD、DA的中点，EG=3，FH=4，则
的值为（
）
A. 25
B.
5、两条异面直线在同一个平面内的射影一定是（ ）
A 两条相交直线 B 两条平行直线
C 两条相交直线或两条平行直线 D 以上都不对
6、下列命题中正确的是：①底面是正多边形的棱锥是正棱锥 ②侧棱都相等的棱锥是正棱锥③侧面是等腰三角形的棱锥是正棱锥 ④侧棱都相等且底面是各边相等的圆内接多边形，这个棱锥是正棱锥
A.④ B.③④ C.②③ D.①③④
7、下列四个命题：
① 平行于同一条直线的两平面平行 ② 平行于同一个平面的两平面平行 ③ 垂直于同一条直线的两平面平行 ④ 与同一条直线成等角的两平面平行
其中正确的命题是（ ）
A.①② B.②③ C.③④ D.②③④
8、“
∥
，
∥
”是“∠
=∠
”的（ ）
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件
9、在空间四边形
中，
、
分别为
、
上的中点，则
与
的大小关系为（ ）
A. 相等 B.MN > C.MN< D.不能确定
10、下列命题正确的是（ ）
A. 过平面外的一条直线只能作一平面与此平面垂直
B. 平面
⊥平面
于
，
，
，则
C. 一直线与平面的一条斜线垂直，则必与斜线的射影垂直
D. 
、
、
是两两互相垂直的异面直线，
为、的公垂线，则∥
11、从平面外一点向平面引一条垂线和三条斜线，若这些斜线与平面成等角，则如下四个命题中：① 三斜足构成正三角形；② 垂足是斜足三角形的内心；③垂足是斜足三角形的外心； ④ 垂足是斜足三角形的垂心。其中正确命题的个数是（ ）。
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
12、若a，b，l是两两异面的直线，a与b所成的角是
，l与a、l与b所成的角都是
，则的取值范围是 （ ）
A．[
] B．[
] C．[
] D．[
]
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题（每小题4分，共16分，答案填在答题卡上）
13、直角三角形
的斜边在平面内，直角顶点
在平面外，在平面内的射影为
，且
，则Δ
为 三角形。
14、OX，OY，OZ是空间交于同一点O的互相垂直的三条直线，点P到这三条直线的距离分别为3，4，7，则OP长为_______.。
15、在北纬
圈上有甲乙两地，它们在纬度圈上的弧长为
（
为地球的半径），则甲乙两地的球面距离为
。
16、平行六面体
中，=4,
=3,
=5, ∠
=90°, ∠
=∠
=60°, 则对角线
的长为___________ 。
三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分）
17、（本小题满分12分）：正方体ABCD—A1B
18、（本小题满分12分）. .已知正方形ABCD的边长为1，分别取边BC、CD的中点E、F，连结AE、EF、AF，以AE、EF、FA为折痕，折叠使点B、C、D重合于一点P.
（1）求证：AP⊥EF；
（2）求证：平面APE⊥平面APF；
19、（本小题满分12分）如图，
四棱锥
的底面是边长为1的正方形，
SD垂直于底面ABCD，SB=√3。
（I）求证
；
（II）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；
（III）求SD与面SAB所成角的大小
20、（本小题满分12分）如图，正三棱柱
的底面边长为a，点M在边BC上，△
是以点M为直角顶点的等腰直角三角形．
（1）求证点M为边BC的中点；
（2）求点C到平面的距离
21、（本小题满分12分）⊿ABC是边长为2的正三角形，在⊿ABC所在平面外有一点P，PB=PC=
，PA=
，延长BP至D，BD=
，E是BC的中点，求AE和CD所成角的大小和这两条直线间的距离.
22、如图，已知
面
，
于D，
.
（1）令
，
，试把
表示为
的函数，并求其最大值；
（2）在直线PA上是否存在一点Q，使得 
？
数 学 答 题 卷
一、 选择题：请将唯一正确答案的编号填入答卷中，本题共12题，每题5分，共60分。
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 |
二、填空题：本题共4题，每题4分，共16分。
13_________________________ 14_________________________
15_________________________ 16_________________________
三、解答题：本题共6题，17、18、19、20、21题12分，22题14分，共74分。
17、
18、
孟州五中05－06学年下学期高二年级期中考试卷
数学参考答案
一、选择题
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| C | A | B | A | D | A | D | D | C | D | A | D |
12.解 当l与异面直线a，b所成角的平分线平行或重合时，a取得最小值
，当l与a、b的公垂线平行时，a取得最大值
，故选（D）
二、填空题
13.钝角 14. 解：在长方体OXAY—ZBPC中，OX、OY、OZ是相交的三条互相垂直的三条直线。又PZ
OZ，PYOY，PXOX，有 OX2+OZ2=49，OY2=OX2=9， OY2+OZ2=16，得 OX2+OY2+OZ2=37，OP=
15. 
16.
17．证法一：分别过E、F作EM⊥AB于点M，FN⊥BC于点N，连结MN.
∵BB1⊥平面ABCD，
∴BB1⊥AB，BB1⊥BC.
∴EM∥BB1，FN∥BB1.∴EM∥FN.
又B1E=C
故四边形MNFE是平行四边形.
∴EF∥MN.又MN在平面ABCD中，
∴EF∥平面ABCD.
证法二：过E作EG∥AB交BB1于点G，连结GF，则
=
.
∵B1E=C
=.
∴FG∥B
又∵EG∩FG=G，AB∩BC=B，
∴平面EFG∥平面ABCD.而EF在平面EFG中，
∴EF∥平面ABCD.
评述：证明线面平行的常用方法是：证明直线平行于平面内的一条直线；证明直线所在的平面与已知平面平行.
18．证明：，∵∠APE=∠APF=90°，PE∩PF=P，∴PA⊥平面PEF.
∵EF
平面PEF，∴PA⊥EF.
（2）证明：∵∠APE=∠EPF=90°，AP∩PF=P，∴PE⊥平面APF.又PE平面PAE，∴平面APE⊥平面APF.
19. 分析：本小题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。
（I）证明：
∵底面ABCD是正方形 
SD⊥底面ABCD 
DC是SC在平面ABCD上的射影
由三垂线定理得
（II）解：SD⊥底面ABCD，且ABCD为正方形
可以把四棱锥补形为长方体
，如图2
面ASD与面BSC所成的二面角就是面
与面
所成的二面角，
又
为所求二面角的平面角
在
中，由勾股定理得
在
中，由勾股定理得
即面ASD与面BSC所成的二面角为
（III）解45° 显然是∠DSA。过程不细说了，呵呵。
20. （1）∵ △为以点M为直角顶点的等腰直角三角形，∴ 
且
．∵ 正三棱柱， ∴ 
底面ABC．
∴ 
在底面内的射影为CM，AM⊥CM．
∵ 底面ABC为边长为a的正三角形，∴ 点M为BC边的中点．
（2）过点C作CH⊥
，由（1）知AM⊥且AM⊥CM，
∴ AM⊥平面
∵ CH在平面内， ∴ CH⊥AM，
∴ CH⊥平面
，由（1）知，
，
且
．
∴ 
．
∴ 
．
∴ 点C到平面的距离为底面边长为
．
21. (12分) 解：分别连接PE和CD，可证PE//CD，（1分）则∠PEA即是AE和CD所成角．（2分）在Rt⊿PBE中，
PB=，BE=1，∴PE=
。在⊿AEP中，AE=
，
=
．
∴∠AEP=60º，即AE和CD所成角是60º．（6分）
∵AE⊥BC，PE⊥BC，PE//DC，∴CD⊥BC，∴CE为异面直线AE和CD的公垂线段，（10分）它们之间的距离为1．（12分）
22. 解：（1）为寻求与的关系，首先可以将
转化为
.
∵ 面，于D，
∴ 
，
∴ 
，
∴ 
．
∵ 
为
在面
上的射影，
∴ 
，即
，
∴ 
．
即的最大值为
，等号当且仅当
时取得．
（2）由正切函数的单调性可知：点Q的存在性等价于：是否存在点Q使得
，
，
令
，解得：
，与交集非空，
∴ 满足条件的点Q存在．