衡阳市田家炳实验中2005年高二上期末模拟考试

　　　　  班级_______ 姓名__________ 学号______

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1.设全集I=R，集合P={x2x²－x＜0}，集合Q={x≤2}，则 ( 　　)

A.P_RQ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B.P=_RQ

C.P∪Q=R　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.P∪Q={xx＞0}

2.当x∈［－1,3］时，不等式a≥x²－2x－1恒成立，则a的最大值和最小值分别为( 　　)

A.2，－1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.不存在，2

C.2，不存在　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.－2，不存在

3.如果实数x、y满足(x－2)²+y²=3,那么的最大值是 ( 　　)

A.　　　　　　　　 B.　　　　　　  C.　　　　　　　 D.

4.当－1≤x≤1时，y=ax+2a+1的值有正也有负，则实数a的取值范围是( 　　)

A.a<0或a>1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.0<a≤1

C.－1<a<－　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.a≤－1或a≥－

5. 已知两定点F₁(-1,0) 、F₂(1,0), 且是与的等差中项,则动点P的轨迹是(　　).　　

　　A. 椭圆 　　　 B. 双曲线　　　　C. 抛物线　　　　  D. 线段

6、已知平面内动点M(x,y)到定点A（6，0）的距离与到直线x=3的距离之比为，则M的轨迹是（ 　　 ）。

A　抛物线；　 B　椭圆  ；　 C　双曲线  ；　D　 圆。

7. 设，“”是“曲线为椭圆”的　　 （ 　　）

A．必要非充分条件　　　　　　  　　　 B．充分非必要条件

C．充分必要条件　　　　　　　　  　　D．既非充分又非必要条件

8. 如图，已知是椭圆的半焦距,则的　　取值( 　　)

　 A　(1,　 +∞)　　B　 

　 C　　　 D　

9.过原点的直线l与双曲线－=－1有两个交点，则直线l的斜率的取值范围是 (　　 )

A.(－，)　　　　　 　B.(－∞,－)∪(,+∞)

C.［－,］　　　　　   D.(－∞,－］∪［,+∞)

10、已知曲线bx²+ay²=ab与直线ax+by+1=0(a,b为非零实数)，在同一坐标系中，它们的图形可能是（　　　）

 　　 

　　　 A　　　　　　  　　B　　　　　　　　  C　　　　　　　　  D

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

11. 已知椭圆的一条准线方程是x=，则b=　　　　 。翰林汇

12.已知－＜α＜,－π＜β＜，则2α－β的取值范围是_________.

13.配制A、B两种药剂,需要甲、乙两种原料,已知配一剂A种药需甲料3 mg,乙料5 mg；配一剂B种药需甲料5 mg,乙料4 mg.今有甲料20 mg,乙料25 mg,若A、B两种药至少各配一剂,应满足的条件是__________.　　　　　　　　　　　

14. 如图, 直线l ^ FH于H, O为FH的中点, 曲线C₁ ,　　　　　　　　　　　　　　　　　 

C₂是以F为焦点, l为准线的圆锥曲线(图中只画出曲　　　　　　　　　　　　　　　　　　

线的一部分）, 那么圆锥曲线C₁是  　　　　　 ;  

圆锥曲线C₂是 　　　　　　 .

15.抛物线y²=4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为4，则焦点到AB的距离为 　　　　　 ;　

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

16．( 12分)　在R上定义运算，若不等式对任意实数成立，求实数的取值范围。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

17．已知a,b>0,a+b＝1.求证：(1+)(1+)≥9.（12分）

18.( 14分)已知圆C:(x－1)²+(y－2)²=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4　 (m∈R).

(1)证明不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；

(2)求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程.

19.(14分) 已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．

（1）求椭圆的方程;（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由．

20.( 14分)如图，某农场在P处有一堆肥，今要把这堆肥料沿道路PA或PB送到庄稼地ABCD中去，已知PA=100 m，PB=150 m，∠APB=60°.能否在田地ABCD中确定一条界线，使位于界线一侧的点，沿道路PA送肥较近；而另一侧的点，沿道路PB送肥较近?如果能，请说出这条界线是一条什么曲线，并求出其方程.　　　　　　　　　　　　　　　　 

　　　　　　　　　   

21.(14分) 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=4x²上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO, 如图所示.

　 （Ⅰ）求△AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；

　 （Ⅱ）△AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.

参考答案　　　　　　　　　 

一．选择题

1.A　2. B　3. D　4. C　5. A　6. C　7. A　 8. C　9. B　10. D　

二．填空题：

11，5 　　　12，(－,)　13，　14，椭圆　;　双曲线  15，2。　

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

16．　1<x<4　　;

17．证明：=

=(1+)(1+)≥9.

18(1)证明:若按常规思路只需圆心O(1，2)到直线l的距离恒小于半径即可，但注意到直线l的方程写成x+y－4+m(2x+y－7)=0后，发现直线l过直线x+y－4=0与直线2x+y－7=0的交点(3，1).若该定点在圆内部，则问题(1)得证.

∵(3－1)²+(1－2)²=5＜25，

∴点(3，1)在圆内部.

∴不论m为何实数，直线l与圆恒相交.

(2)解:从(1)的结论知直线l过定点M(3，1)且与过此点的圆O的半径垂直时，l被圆所截的弦长AB最短，由垂径定理知

AB=2

=2=4.

此时k_l=－，即－=－=2，

解得m=－，代入，得直线l方程为2x－y－5=0.

19.(14分) 解析：（1）直线AB方程为：bx-ay-ab＝0．　　　　　　　　 …1分

　　依题意　解得　　　　　　　　　　　　　 …5分

　　∴　椭圆方程为　．　　　　　　　　　　　　　　　　　  …6分

　（2）假若存在这样的k值，由

得．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …7分

　　∴　．　　　　　　　　　①　　　　 …8分

　　设，、，，则　　　　②　　　　  …9分

　　而．　　　　　　  …10分

要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE，即时，

有．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …11分

　　∴　．　　　　　　③　　　　 　 …12分

　　将②式代入③整理解得．经验证，，使①成立．　　　　　　  …13分

综上可知，存在，使得以CD为直径的圆过点E .　　　　　　　　 …14分

20．解:设M是这种界线上的点，

则必有MA+PA=MB+PB,

即MA－MB=PB－PA=50.

∴这种界线是以A、B为焦点的双曲线靠近B点的一支.建立以AB为x轴，AB中点　　　O为原点的直角坐标系，则曲线为－=1,

其中a=25,c=AB.

∴c=25,b²=c²－a²=3750.

∴所求曲线方程为－=1(x≥25,y≥0).

21.(14分)解：（I）设△AOB的重心为G(x,y),A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),

则　　…（1）…… 2分

∵OA⊥OB ∴,即，……(2) …… 4分

又点A，B在抛物线上，有，代入（2）化简得…… 5分

∴

所以重心为G的轨迹方程为　　　　　　　　　　　　 …… 7分

（II）

　　　　　　　　　　　　　  …… 9分

由（I）得　　　　　　 …… 11分

　　　　　　　　　　  …… 12分

当且仅当时，等号成立　　　　　　　　　　　　　　　　  …… 13分

所以△AOB的面积存在最小值，且最小值为1 .　　　　　　　　　　　　　 …… 14分