伯乐园高二特色卷
（试卷总分：150分考试时间：120分钟）
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1.抛物线y2=ax的准线方程为x=-1,则a的值是（ ）
A.-2 B.
2.在下列各点中,位于不等式2x+3y＜5表示的平面区域外的点是（ ）
A.(0,1) B.(1,0) C.(0,2) D.(2,0)
3.已知0＜a＜b＜c, b＜0且满足
，则下列不等式中成立的是（ ）
A.c＜b＜a B.a＜b＜c
C.b＜a＜c D.b＜c＜a
4.袋中有5个白球，3个黑球，从中任意摸出4个球，则至少摸到一个黑球的概率是（ ）
A.
B.
C. 
D.
5.将正方形ABCD沿对角线BD折起，使平面ABD⊥平面CBD，E是CD的中点，则异面直线AE、BC所成角的正切值是（ ）
A.
B. 
C.2
D. 
6.二项式
的展开式中含有x4
的项，则n的一个可能值是（
）
A.3
B
7.从一块短轴长为2b的椭圆形的玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是［3b2,4b2］，则这一椭圆离心率e的取值范围是（ ）
A.［
，
］ B.［
，］
C.［，］ D.［，］
8.球O的截面把垂直于截面的直径分成1∶3的两部分，若截面圆半径为
,则球O的体积为（
）
A.16
B.
C.
D.
9.从6人中选出4人参加数、理、化、英语比赛，每人只能参加其中一项，其中甲、乙两人都不能参加英语比赛，则不同的参赛方式共有（ ）
A.96种 B.180种 C.240种 D.288种
10.连续投掷两次骰子，以先后得到的两次点数m，n为点P(m,n)的坐标，则点P落在圆x2+y2=17外部的概率是（ ）
A. 
B. 
C. 
D.
11椭圆
（a> b >0） 有内接正n边形 ，则n的所有可能值是 ( )
（A） 4 （B） 3，4 （C） 3，4，5 （D） 3，4，6
12.已知点P是双曲线
右支上的动点，又知定点A(8,1) , 右焦点为F, 则
的值的范围是( ）
A.[1，+∞） B.
C. 
D.[8, +∞）
第Ⅱ卷（非选择题,共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13.有n(n∈N*)件不同的产品排成一排，若其中A、B两件产品排在一起的不同排法共有48种，则n= .
14.设x、y满足约束条件
’则目标函数Z=2x+y的最大值是 .
15.不等式loga（x2-2x+3）≤-1在x∈R上恒成立，则实数a的取值范围为 .
16.能使不等式
成立的正整数n的取值集合是
.
三、解答题：本大题共6小题，共74分．
17.（本小题满分12分）
已知关于x的不等式
的解集为M.
（Ⅰ）当a=4时，求集合M；
（Ⅱ）若3∈M且5
M，求实数a的取值范围.
18.（本小题满分12分）
已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线
的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点连线垂直，又抛物线与双曲线交于点（
，
），求抛物线的方程和双曲线的方程.
19.（本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a,AD=
（Ⅰ）求异面直线AE与CD所成角的大小；
（Ⅱ）求点C到平面PBD的距离.
20.（本小题满分12分）
将一个各个面上均涂有红颜色的正方体锯成64个同样大小的小正方体.
（Ⅰ）从这些小正方体中任取1个，其中恰好有奇数个面涂有红颜色的概率是多少？
（Ⅱ）从这些小正方体中任取2个，至少有一个小正方体的某个面或某几个面涂有红色的概率是多少？
21.（本小题满分12分）
如图，在长方体ABCD—A1B
（1）证明：D1E⊥A1D；
（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；
（3）AE等于何值时，二面角D1—EC—D的大小为
.
22.（本小题满分14分）
已知A（-2，0），B（2，0），点C、D满足
=2，
=
（Ⅰ）求点D的轨迹方程；
（Ⅱ）过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，线段MN的中点到y轴的距离为
，且直线l与点D的轨迹相切，求该椭圆的方程.
试题答案
1.D 2.C 3.A 4.B 5.A 6.C 7. B 8.C 9.C 10.D 11.B 12.C
13.5 14.6 15.
16.
17.解：（Ⅰ）当a=4时，原不等式为
(2分) 即
4(x-
) (x+2)(x-2)＜0 （3分）
解得x＜-2或＜x＜2 (5分)
故M=｛xx＜-2或＜x＜2｝(6分)
（Ⅱ）由于3∈M , 故
① (8分）
又5M,故
② (10分)
联立①②解得1≤a＜
或9＜a＜25(12分)
18.法一:解：设抛物线方程为 y2=2px.因点（，）在抛物线上，
则6=2p·，得p=2.，抛物线方程为 y2=4x,（5分）
又双曲线左焦点在抛物线准线 x=-1上，故c=1 (7分)
从而 a2+b2=1 ① (8分)
将点（，）代入双曲线方程得
② （9分）
由①、②解得 a2=
,b2=
, (11分)
故双曲线方程为
4x2-
y2=1.
(12分)
法二:求出抛物线方程y2=4x,同解法一,
又双曲线左焦点在抛物线准线 x=-1上,故双曲线的焦点坐标为F1(-1,0),F2(1,0).由
得 a2=.
所以b2=c2-
a 2=. (11分)
故双曲线方程为 4x2-y2=1.
(12分).
19.解：法一
（Ⅰ）取AD中点M，则BM∥CD，过M作MN∥AE，连BN，
则∠NMB为异面直线AE、CD所成的角或其补角，(2分)
由已知BM=a,∵PD与底面成30°角，∴MN=
,ND=
,PD=
,PA=
，
在Rt△ABD中，BD=
a, PB=
=
, PN=
, ∴BN2=
在△BMN中，cos∠BMN=
=--
(5分)
由于异面直线所成角取值范围为（0，90°）,
故所求角为arc
cos. (6分)
（Ⅱ）
作AF⊥BD,BD=a, AF=
又PA=, ∴PF=
, (9分)
S△PBD=
,S△BCD=
,VC-PBD=VP-BCD ，设点C到平面PBD的距离为d，则
d·=·
d=a (12分)
法二：
（Ⅰ）以A为空间直角坐标系原点，
的方向为正方向建立直角坐标系如图
（2分）
则 A（0，0，0）,
C（a，a，0）, D(0,,a),
∴
=(0,,a)
， cos(,
)=
故所求角为
arc cos （7分）
（Ⅱ）设平面PBD的法向量
=（x，y，z），P（0，0，
a），∴
，
由⊥
，⊥
知
令z=a,得=(a,
,a)，又
=(0,a,0)，∴ d=
（12分）
20.解：
（Ⅰ）小正方体中，有3个面，2个面，1个面，0个面涂有红色的个数分别为8，24，24，8
（4分）
故恰好有奇数个面涂有红色的概率为：
P1=
（6分）
（Ⅱ）设
表示所选取的2个小正方体都是0个面涂有红色的事件，则所求的概率为：
P2=1-P()=1-
（12分）
21．解法（一）
（1）证明：∵AE⊥平面AA1 D1D ，A1D⊥AD1 ，∴ A1D⊥D1E （三垂线定理）（4分）。
（2）设点E到面ACD1的距离为h ，在△ACD1中，AC=CD1=，AD1=，
故
（8分）
（3）过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，
∴∠DHD1为二面角D1—EC—D的平面角.
设AE=x，则BE=2－x
（12分）
解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x、y、z轴 ，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0），
C（0，2，0）
（1）
（4分）。
（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而
，
，设平面ACD1的法向量为
，则
也即
，得
，从而
，所以点E到平面AD
（8分）
（3）设平面D1EC的法向量，∴
由
令b=1,
∴c=2,a=2－x，
∴
依题意
∴
（不合，舍去），
.
∴AE=
时，二面角D1—EC—D的大小为. （12分）
22．解：（Ⅰ）设C、D点的坐标分别为
C（x0，y0），D（x，y）
则
=（x0+2,y0）,
=(4,0)
于是+ =（x0+6，y0）
故=（+）=（
）. (2分)
又 =（x+2，y）
故
，解得
(4分)
代入 =
= 2
得x2+y2=1即为所求点D的轨迹方程. (7分)
（Ⅱ）易知直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为 y=k(x+2) ①
又设椭圆方程为
(a2＞4) ② (8分)
又直线l与圆 x2+y2=1相切，故
，解得k2= (9分)
将①代入②整理得（a2k2+a2-4）x2+
把k2代入上式得（a2-3）x2+a2x-a4+
设M（x1,y1）,N(x2，y2)，则x1+x2=-
，依题意有 =2×(a2＞3)得 a2=8 (13分)
经检验，此时△＞0,故所求椭圆方程为
.(14分)
另解(I) 设C、D点的坐标分别为C（x0，y0），D（x，y）
由 =知,点D是线段BC的中点,
故x0=2x-2, y0=2y.点C的坐标为(2x-2,2y) (4分)
于是由=2得, =
, (6分)
化简得x2+y2=1即为所求点D的轨迹方程. (7分)
(II) 易知直线l与x轴不垂直，设y=k(x+2) ①
因直线l与圆 x2+y2=1相切，故，解得k2= (9分)
由椭圆的对称性,不妨设直线l的方程为
. (1)
设M（x1,y1）,N(x2，y2)，线段MN的中点P(x0,y0),依题意有x0=
代入(1)式
可求得y0= 
,所以点P的坐标为(
,). (11分)
又设椭圆方程为
.
于是
, (1)－(2)得
, 将(3)(4)代入
得
即
，再由
知
故所求椭圆方程为. (14分)