高中学生学科素质训练
高二数学同步测试（10）—圆锥曲线综合应用及光学性质
共150分，考试用时120分钟
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．二次曲线
，
时，该曲线的离心率e的取值范围是 （ ）
A．
B．
C．
D．
2．我国发射的“神舟3号”宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心
为一个焦点的椭圆，近地点A距地面为m千米，远地点B距地面为n千米，地球半径为R千米，则飞船运行轨道的短轴长为
（ ）
A．
B．
C．mn D．2mn
3．已知椭圆
的两个焦点为
、
，且
，弦AB过点，则△
的周长为 （ ）
A．10 B．
D． 
4．已知椭圆的中心在原点，离心率
，且它的一个焦点与抛物线
的焦点重合， 则此椭圆方程为 （ ）
A．
B．
C．
D．
5．设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围 （ ）
A．[－
，] B．[－2，2] C．[－1，1] D．[－4，4]
6．以坐标轴为对称轴、渐近线互相垂直、两准线间距离为2的双曲线方程是 （ ）
A．
B．
C．
或
D．或
7．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点
、
是它的焦点，长轴长为
，焦距为
，静放在点的小球（小球的半径不计），从点沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点时，小球经过的路程是
（ ）
A．
B．
C．
D．以上答案均有可能
8．过双曲线
的右焦点F2有一条弦PQ，PQ=7,F1是左焦点，那么△F1PQ的周长
为 （ ）
A．28
B．
C．
D．
9．已知椭圆
与双曲线
有相同的焦点
和
.若
是
的等比中项，
是
与
的等差中项，则椭圆的离心率是 （ ）
A．
B．
C． 
D．
10．过抛物线
(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长
分别为p、q，则
等于 （ ）
A．
C．
D．
11．如果椭圆
的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是 （ ）
A．
B．
C．
D．
12．设P(x ,
y) (xy≠0)是曲线
上的点，F1(－4,0
) 、F2(4,0), 则 （ ）
A．F1 P + F2 P <10 B．F1 P + F2 P >10
C．F1 P + F2 P ≥10 D．F1 P + F2 P ≤10
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．设中心在原点的椭圆与双曲线
=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是
.
14．设
是曲线
上的一个动点，则点到点
的距离与点到
轴的距离之和的最小值为
.
15．与椭圆
具有相同的离心率且过点（2，－
）的椭圆的标准方程是
.
16．设双曲线
的半焦距为c，直线过（a，0）、（0，b）两点，已知原
点到直线L的距离为
，则双曲线的离心率为 ．
三、解答题（本大题共6题，共74分）
17．（本题满分10分） 已知双曲线与椭圆
共焦点，它们的离心率之和为
，
求双曲线方程.
18．（本题满分10分）、求两条渐近线为
且截直线
所得弦长为
的双曲线方程．
19．（本题满分13分）．双曲线
的焦距为
过点（a，0）
和（0，b），且点（1，0）到直线的距离与点（－1，0）到直线的距离之和
求
双曲线的离心率e的取值范围.
20．（本题满分13分）设椭圆
的两个焦点是
与
，且椭圆上存在一点，使得直线
与
垂直.
（1）求实数
的取值范围；
（2）设
是相应于焦点
的准线，直线与相交于点
，若
，
求直线的方程.
21．（本题满分14分）．给定抛物线C：y2=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点．
（Ⅰ）设l的斜率为1，求
与
的夹角的大小；
（Ⅱ）设
，若λ∈[4,9]，求l在y轴上截距的变化范围.．
|
,4)处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点P，折射后又射向抛物线上的点Q，再折射后，又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线l：2x－4y－17=0上的点N，再折射后又射回点M(如下图所示)
（1）设P、Q两点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，
证明：y1·y2=－p2；
（2）求抛物线的方程；
（3）试判断在抛物线上是否存在一点，使该点与点
M关于PN所在的直线对称？若存在，请求出
此点的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案（10）
一．选择题 (本大题共12小题, 每小题5分, 共60分)
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | C | A | D | A | C | D | D | C | A | C | D | D |
7【解】⑴静放在点的小球（小球的半径不计）从点沿直线出发，经椭圆壁右顶点反弹后第一次回到点时，小球经过的路程是，则选B；
⑵静放在点的小球（小球的半径不计）从点沿直线出发，经椭圆壁左顶点反弹后第一次回到点时，小球经过的路程是，则选C；
⑶静放在点的小球（小球的半径不计）从点沿直线出发，经椭圆壁非左右顶点反弹后第一次回到点时，小球经过的路程是，则选A。
于是三种情况均有可能，故选D。
二．填空题（本大题有4小题, 每小题4分, 共16分）
13． 14. 
15. 
或
16. 2
三、解答题（本大题共6题，共74分）
17．（本题满分10分）解:由于椭圆焦点为F(0,
4),离心率为e=
,所以双曲线的焦点为F(0,4),离心率为2,
从而c=4,a=2,b=2
. 所以求双曲线方程为: 
.
18（本题满分10分）解:设双曲线方程为x2-4y2=
.
联立方程组得: 
,消去y得，3x2－24x+(36+)=0
设直线被双曲线截得的弦为AB，且A(
),B(
)，那么：
那么：AB=
解得: =4,所以，所求双曲线方程是：
．
19．（本题满分13分）
解：直线的方程为
，即 
由点到直线的距离公式，且
，得到点（1，0）到直线的距离
，
同理得到点（－1，0）到直线的距离
由
即 
于是得 
解不等式，得 
由于
所以
的取值范围是
20．（本题满分13分）本小题主要考查直线和椭圆的基本知识，以及综合分析和解题能力.
解：（Ⅰ）由题设有
设点P的坐标为
由PF1⊥PF2，得
化简得 
①
将①与
联立，解得 
由
所以m的取值范围是
.
（Ⅱ）准线L的方程为
设点Q的坐标为
，则
②
将
代入②，化简得 
由题设 
，得 
， 无解.
将
代入②，化简得 
由题设
，得 
.
解得m=2. 从而
，
得到PF2的方程 
21．（本题满分14分）本小题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的关系以及解析几何的基本方法、思想和综合解题能力．
解：（Ⅰ）C的焦点为F（1，0），直线l的斜率为1，所以l的方程为
将
代入方程
，并整理得 
设
则有 
所以
夹角的大小为
（Ⅱ）由题设
得 
|
由②得
， ∵ 
∴
③
联立①、③解得
，依题意有
∴
又F（1，0），得直线l方程为
当
时，l在方程y轴上的截距为
由 
可知
在[4，9]上是递减的，
∴
直线l在y轴上截距的变化范围为
22．（本题满分14分）命题意图：对称问题是直线方程的又一个重要应用.本题是一道与物理中的光学知识相结合的综合性题目，考查了学生理解问题、分析问题、解决问题的能力。
知识依托：韦达定理，点关于直线对称，直线关于直线对称，直线的点斜式方程，两点式方程.
错解分析：在证明第(1)问题，注意讨论直线PQ的斜率不存在时.
技巧与方法：点关于直线对称是解决第(2)、第(3)问的关键.
(1)证明：由抛物线的光学性质及题意知
光线PQ必过抛物线的焦点F(
，0)，
设直线PQ的方程为y=k(x－)
①
由①式得x=
y+,将其代入抛物线方程y2=2px中，整理，得y2－
y－p2=0,由韦达定理，y1y2=－p2.
当直线PQ的斜率角为90°时，将x=代入抛物线方程，得y=±p,同样得到
y1·y2=－p2.
(2)解：因为光线QN经直线l反射后又射向M点，所以直线MN与直线QN关于直线l对称，设点M(，4)关于l的对称点为M′(x′,y′)，则
解得
直线QN的方程为y=－1,Q点的纵坐标y2=－1，
由题设P点的纵坐标y1=4，且由(1)知：y1·y2=－p2,则4·(－1)=－p2,
得p=2,故所求抛物线方程为y2=4x.
(3)解：将y=4代入y2=4x,得x=4，故P点坐标为(4，4)
将y=－1代入直线l的方程为2x－4y－17=0,得x=
,
故N点坐标为(，－1)
由P、N两点坐标得直线PN的方程为2x+y－12=0,
设M点关于直线NP的对称点M1(x1,y1)
又M1(
,－1)的坐标是抛物线方程y2=4x的解，故抛物线上存在一点(，－1)与点M关于直线PN对称.
在解题的过程中，只要注意到各学科知识之间的内在联系，定会有很多巧妙的解题方法．