2004－2005学年度下学期

高中学生学科素质训练

高二数学同步测试（1）— 平面的基本性质，两直线的位置关系

YCY

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共150分.

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题（本题每小题5分，共50分）

1．若直线上有两个点在平面外，则　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．直线上至少有一个点在平面内 　　　　　B．直线上有无穷多个点在平面内

　　　 C．直线上所有点都在平面外　　　　　　　　　 D．直线上至多有一个点在平面内

2．在空间中，下列命题正确的是　　　　　　　　　　　　　　  　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．对边相等的四边形一定是平面图形　　

　　　 B．四边相等的四边形一定是平面图形

　　　 C．有一组对边平行且相等的四边形是平面图形

　　　 D．有一组对角相等的四边形是平面图形

3．在空间四点中，无三点共线是四点共面的　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．充分不必要条件 　　　　　　　　　　　　　　　 B．必要不充分条件

　　　 C．充分必要条件　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．既不充分又不必要条件

4．用一个平面去截正方体，则截面形状不可能是　　　　  　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　A．正三角形　　　B．正方形　　　　　　　 C．正五边形　　　　　D．正六边形

5．如图:正四面体S－ABC中，如果E，F分别是SC，AB的中点，

　　　 那么异面直线EF与SA所成的角等于 （　　）

　　　 A．90°　　　　 　　 B．45°

　　　 C．60°　　　　 　　 D．30°

6．一条直线与两条平行线中的一条是异面直线，那么它与另一条直线的位置关系是（　　）

　　　 A．相交　　 　　　　　B．异面　　　　　　　 C．平行 　　　　　　　　 D．相交或异面

7．异面直线a、b成60°，直线c⊥a，则直线b与c所成的角的范围为　　　　　　 （　　）

A．[30°，90°]　 B．[60°，90°]　　 C．[30°，60°] 　　D．[60°，120°]

N　　 D　　　 C　M E　　A　　　B　 F

8．右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，

　　　 ① BM与ED平行；　　 ② CN与BE是异面直线；

　　　 ③ CN与BM成角； ④ DM与BN垂直．

　　　 以上四个命题中，正确命题的序号是（　　）

A．①②③　　　　　　　 B．②④　　

　　　 C.③④ 　　　　　　　　 D．②③④

9．梯形ABCD中AB//CD，AB平面α，CD平面α，则直线CD与平面α内的直线的位

　 置关系只能是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　　　　 （　　）

　　　 A．平行　　　　　　　 B．平行或异面 　　　 C．平行或相交 　　　 D．异面或相交

10．在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，且AE ：EB＝AF ：FD

＝1 ：4，又H、G分别为BC、CD的中点，则　　　　　　　　　　 　　　　　 （　　）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　 A．BD//平面EFGH且EFGH是矩形 　　　B．EF//平面BCD且EFGH是梯形

　　　 C．HG//平面ABD且EFGH是菱形 　　　 D．HE//平面ADC且EFGH是平行四边形

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二．填空题（本题每小题6分，共24分）

11．若直线a, b与直线c相交成等角，则a, b的位置关系是　　　　　　　　 ．

12．在四面体ABCD中，若AC与BD成60°角，且AC＝BD＝a，则连接AB、BC、CD、DA的中点的四边形面积为　　　　　　　　  ．

13．在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝BC＝3，AA₁＝4，则异面直线AB₁与 A₁D所成的角的余弦值为　　　　　　　　 ．

14．把边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折起，

使A、C的距离等于a，如图所示，则异面直线AC

和BD的距离为　　　　　　 ．

三、解答题（共76分）

15．（12分）已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线 .

16．（12分）在空间四边形ABCD中，M、N、P、Q分别是四边上的点，且满足

=k.求证：M、N、P、Q共面.

17．（12分）已知：平面

求证：b、c是异面直线

18．（12分）如图，已知空间四边形ABCD中，AB=CD=3，E、F分别是BC、AD上的点，

并且BE∶EC=AF∶FD=1∶2，EF=，求AB和CD所成角的大小.

19．（14分）四面体A-BCD的棱长均为a，E、F分别为楞AD、BC的

　　中点，求异面直线AF与CE所成的角的余弦值．

20．（14分）在棱长为a的正方体ABCD—A′B′C′D′中，E、F分别是BC、A′D′的

中点.

　 （1）求证：四边形B′EDF是菱形；

　 （2）求直线A′C与DE所成的角；

参考答案（一）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

题　号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
答　案	D	C	D	C	B	D	A	C	B	B

二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）

11．平行、相交或异面　　12． 　　 13．　　 14．

三、解答题（本大题共6题，共76分）

15．(12分) 证明：∵A、B、C是不在同一直线上的三点

∴由A、B、C确定一个平面, 又

 

16．(12分) 证明：∵AM∶MB=CN∶NB

∴MN∥AC　　　∵DQ∶QA=DP∶PC　　　　 ∴PQ∥AC∴MN∥PQ　 ∴M、N、P、Q共面.

17．(12分) 反证法：若b与c不是异面直线，则b∥c或b与c相交

18．(12分) 解：连结BD，在BD上取点G，使BG∶GD=1∶2，

连结EG、FG，在△BCD中，∵　∴EG∥CD　

同理FG∥AB

　　　　 ∴EG和FG所成的锐角（或直角）就是异面直线AB和CD

　　　　 所成的角.

　　　　 在△BCD中， ∴EG∥CD，CD=3，BG∶GD=1∶2　∴EG=1

　　　　 在△ABD中， ∴FG∥AB，AB=3，FG∶AB=2∶3　 ∴FG=2

　　　　 在△EFG中，EG=1，FG=2，EF=，由余弦定理，得

　　　　

　　　　 ∴∠EGF=120°,EG和FG所成的锐角为60°.∴AB与CD所成的角为60°.

19．（14分）

　　　　 解： 连接FD，在面AFD内过E作EO∥AF交FD于O，则∠OEC为异面直线AF与CE的所成角.

且O为DF的中点。又∵E为AD的中点，∴EO=.

∵⊿ABC和⊿ACD均为等边三角形，且边长为 AF、CE分别是它们的中位线，

∴，在Rt⊿DFC中，

　　　　

　　　　 .

　　　　 在⊿OEC中，

　　　　 .

　　　 即异面直线AF与CE所成的角的余弦值为.

20．(14分)

（1）证明：由题目中图所示，由勾股定理，得B′E=ED=DF=FB′=a,

　　　　 下证B′、E、D、F四点共面，取AD中点G，连结A′G、EG，由EGABA′B′知，

　　　　 B′EGA′是平行四边形.

∴B′E∥A′G,又A′F DG,∴A′GDF为平行四边形.

∴A′G∥FD，∴B′、E、D、F四点共面

故四边形B′EDF是菱形.

（2）解：如图所示，在平面ABCD内，过C作CP∥DE，交直线AD于P，

则∠A′CP(或补角)为异面直线A′C与DE所成的角.

在△A′CP中，易得A′C=a，CP=DE=a，A′P=a

由余弦定理得cos∠A′CP=，故A′C与DE所成角为arccos.