2004－2005学年度下学期
高中学生学科素质训练
高二数学同步测试（2）— 直线和平面的位置关系
YCY
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共150分.
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题（本题每小题5分，共50分）
1．下列命题：① 一条直线在平面内 的射影是一条直线；② 在平面内射影是直线的图形一
定是直线；③ 在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等；④ 两斜线与平面所成的角
相等，则这两斜线互相平行.其中真命题的个数是 （ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．下列命题中正确的是 （ ）
A．若平面M外的两条直线在平面M内的射影为一条直线及此直线外的一个点，则这
两条直线互为异面直线
B．若平面M外的两条直线在平面M内的射影为两条平行直线，则这两条直线相交
C．若平面M外的两条直线在平面M内的射影为两条平行直线，则这两条直线平行
D．若平面M外的两条直线在平面M内的射影为两条互相垂直的直线，则这两条直线
垂直
3．相交成60°的两条直线与一个平面α所成的角都是45°，那么这两条直线在平面α内的
射影所成的角是 （ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
4．已知A、B两点在平面α的同侧，AC⊥α于C，BD⊥α于D，并且AD∩BC＝E，EF⊥
α于F，AC＝a，BD=b，那么EF的长等于 （ ）
A．
B．
C．
D．
5．PA、PB、PC是从P点引出的三条射线，每两条夹角都是60°，那么直线PC与平面PAB
所成角的余弦值是 （ ）
A．
B．
C．
D．
6．Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，D是BC的中点，AC＝2，DE⊥平面ABC，
且DE＝1，则点E到斜边AC的距离是 （ ）
|
B．
C．
D．
7．如图，PA⊥矩形ABCD，下列结论中不正确的是（ ）
A．PB⊥BC B．PD⊥CD
C．PD⊥BD D．PA⊥BD
8．如果α∥β，AB和AC是夹在平面α与β之间的
两条线段，AB⊥AC，且AB＝2，直线AB与平面
α所成的角为30°，那么线段AC的长的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．若a, b表示两条直线，
表示平面，下面命题中正确的是 （ ）
A．若a⊥, a⊥b，则b// B．若a//, a⊥b，则b⊥α
C．若a⊥,b
，则a⊥b D．若a//, b//，则a//b
10．如果直角三角形的斜边与平面
平行，两条直角边所在直线与平面所成的角分别为
，则 （ ）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题（本题每小题6分，共24分）
11．已知△ABC，点P是平面ABC外一点，点O是点P在平面ABC上的射影，（1）若点P
到△ABC的三个顶点的距离相等，那么O点一定是△ABC的 ；（2）若
点P到△ABC的三边所在直线的距离相等且O点在△ABC内，那么O点一定是△ABC
的 ．
12．已知△ABC中，AB=9，AC=15，∠BAC=120°，△ABC所在平面外一点P到此三角形
|
13．如图所示，矩形ABEF与矩形EFDC相交于EF，
且BE⊥CE，AB＝CD＝4，BE＝3，CE＝2，
∠EAC＝α，∠ACD＝β，则cosα∶cosβ＝ ．
14．AB∥CD，它们都在平面a内，且相距28．EF∥a，且相距15．
EF∥AB，且相距17．则EF和CD间的距离为 ．
三、解答题（共76分）
|
16．（12分）A是△BCD所在平面外的点，∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°，AB=3，AC=AD=2.
（1）求证：AB⊥CD；
（2）求AB与平面BCD所成角的余弦值.
|
PC的中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：EF⊥CD；
（3）若ÐPDA＝45°，求EF与平面ABCD所成的角的大小．
|
中，
，线段
平面
，点
在平面
上的射
影为H.求证：H不可能是
的垂心.
|
P为⊙O所在平面外一点，且PA⊥⊙O， PB与平面所成角为45
（1）证明：BC⊥平面PAC ；
（2）求点A到平面PBC的距离．
20．（14分）如图所示，在斜边为AB的Rt△ABC中，过A作PA⊥平面ABC，AM⊥PB于M，
|
（1）求证：BC⊥面PAC；
（2）求证：PB⊥面AMN.
（3）若PA=AB=4，设∠BPC=θ，试用tanθ表示△AMN
的面积，当tanθ取何值时，△AMN的面积最大？
最大面积是多少？
参考答案（二）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答案 | A | A | D | A | D | D | C | D | C | B |
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11．外心、内心 12．7 13． 5：4 14． 39或25
三、解答题（本大题共6题，共76分）
15．（12分） 解：连结BC1交B1C于O，连结A1O
在正方体ABCD—A1B1C1D1中各个面为正方形，设棱长为a,
∵A1B1⊥B1C1,A1B1⊥B1B,∴A1B1⊥BC1.∵BC1⊥B1C,∴BC1⊥平面A1B1CD
∴A1O为A1B在平面A1B1CD内的射影,∴∠BA1O是A1B与平面A1B1CD所成的角
在Rt△A1BO中，∴A1B=
a,OB=
a,∴sinBA1O=
又∵∠BA1O为锐角,∴∠BA1O=30°,即A1B和平面A1B1CD所成的角为30°
16．(12分) 解（1）∵∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°， AC=AD=2，AB=3， ∴△ABC≌△ABD，BC=BD.取CD的中点M，连AM、BM，则CD⊥AM，CD⊥BM. ∴CD⊥平面ABM，于是AB⊥BD.
（2）过A作
于O，∵CD⊥平面ABM，∴CD⊥AO，∴AO⊥面BCD，
∴BM是AB在面BCD内的射影，这样∠ABM是AB与平面BCD所成的角.
在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，
.
在△ACD中， AC=AD=2，∠CAD=60°，∴△ACD是正三角形，AM=
.
在Rt△BCM中，BC=
，CM=1，
.
17．(12分) 证：连AC，设AC中点为O，连OF、OE
（1）在△PAC中，∵ F、O分别为PC、AC的中点
∴ FO∥PA
…………① 在△ABC中，
|
∵ BC∥AD ∴ EO∥AD …………②
综合①、②可知：平面EFO∥平面PAD
∵ EF Ì 平面EFO ∴ EF∥平面PAD．
（2）在矩形ABCD中，∵ EO∥BC，BC⊥CD
∴ EO⊥CD 又 ∵ FO∥PA，PA⊥平面AC ∴ FO⊥平面AC
∴ EO为EF在平面AC内的射影 ∴ CD⊥EF．
（3）若ÐPDA＝45°，则 PA＝AD＝BC ∵ EO ∥＝BC，FO ∥＝PA
∴ FO＝EO 又 ∵ FO⊥平面AC ∴ △FOE是直角三角形 ∴ ÐFEO＝45°．
18．（12分）证明：假设
是的垂心
连结
并延长与
相交
∵
平面
∴是
在平面内的射影
又∵
∴
又∵
平面
∴
是在平面内的射影
∴ 
这与
矛盾
∴不可能是的垂心
19．（14分）解：（1）∵PA⊥平面ABC ∴PA⊥BC
∵AB是⊙O的直径，C为圆上一点∴BC⊥AC
∴BC⊥平面PAC
（2）过A作AD⊥PC于D∵BC⊥平面PAC，BC
平面PBC
∴PAC⊥PBC，PC为交线 ∴AD⊥平面PBC ∴AD即为A到平面PBC的距离.
依题意，∠PBA为PB与面ABC所成角，即∠PBA＝45°∴PA=AB=2，AC=1，
可得PC=
∵AD×PC＝PA×AC
∴AD＝
， 即A到平面PBC的距离为
…
20．（14分）（1）证明：∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC.
∴PA⊥BC，又AB为斜边，∴BC⊥AC，PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC.
（2）证明：∵BC⊥平面PAC，AN平面PAC ∴BC⊥AN，又AN⊥PC，且BC∩PC=C，
∴AN⊥面PBC，又PB平面PBC.∴AN⊥PB，
又∵PB⊥AM，AM∩AN=A ，∴PB⊥平面AMN.
（3）解：在Rt△PAB中，PA=AB=4，∴PB=4
，
∵PM⊥AB，∴AM=
PB=2，∴PM=BM=2
又∵PB⊥面AMN，MN平面AMN.∴PB⊥MN,
∵MN=PM·tanθ=2tanθ,∵AN⊥平面PBC，MN平面PBC.∴AN⊥MN
∵AN=
∴当tan2θ=,即tanθ=
时，S△AMN有最大值为2，
∴当tanθ=时，S△AMN面积最大，最大值为2．