2004－2005学年度下学期

高中学生学科素质训练

高二数学同步测试（3）— 平面和平面的位置关系

YCY

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共150分.

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．下列命题中正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　（　　）

　　　 A．垂直于同一平面的两平面平行　　

　　　 B．垂直于同一直线的两平面平行

　　　 C．与一直线成等角的两平面平行

　　　 D．RtÐABC在平面a的射影仍是一个直角，则ÐABC所在平面与平面a平行

2．ABCD是一个四面体，在四个面中最多有几个是直角三角形　　　　 　　　　　　　 （　　）

　　　 A．1　　　　　　　　　　 B．2　　　　　　　　　C．3 　　　　　　　　　　 D．4

3．已知、是不重合的直线，a、b是不重合的平面，有下列命题：

　　　 ①若a、∥b,则∥；　　　　　  ②若∥a、∥b,则a∥b；

　　　 ③若a∩b＝，∥，则∥a，∥b；④若⊥a，⊥b，则a∥b．

　　　 其中真命题的个数是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　（　　）

　　　 A．0　 　　　　　　　　　 B．1　　　　　　　　　　　 C．2　　　　　　　　　　 D．3

4．已知二面角α－AB－β的平面角为θ，α内一点C到β的距离为3，到棱AB的距离为4，

　则tanθ等于　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　 　 B．　　　　　 　　C．　　　　  　D．

5．下列命题：① 若直线a//平面，平面⊥平面β，则⊥β; ② 平面⊥平面β，平

　 面β⊥平面γ，则⊥γ；③ 直线a⊥平面，平面⊥平面β，则a//β； ④ 平面//

　 平面β，直线a平面，则a//β．其中正确命题的个数是　　　　　　　　  （　　）

　　　 A．1 　　　　　　　　　　　B．2　　　　　　　　　　　 C．3 　　　　　　　　　　 D．4

6．二面角α－AB－β的平面角为锐角，C是α内的一点

　（它不在棱AB上），点D是C在平面β内的射影，点E

　 是AB上满足∠CEB为锐角的任意一点，那么（　　）

　　　 A．∠CEB>∠DEB 　B．∠CEB<∠DEB　

　　　 C．∠CEB=∠DEB 　D．无法确定

7．如果直线l、m与平面α、β、γ满足：，，，那么必有（　　）

　　　 A．　　　B．　　 C．　　 D．

8．已知：矩形ADEF⊥矩形BCEF，记∠DBE＝α，

　 ∠DCE＝β，∠BDC＝θ，则　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．sinα＝sinβsinθ　 B．sinβ＝sinαcosθ

　　　 C．cosα＝cosβcosθ　D．cosβ＝cosαcosθ

9．若有平面与，且，则下列命

　 题中的假命题为　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．过点且垂直于的直线平行于　　 B．过点且垂直于的平面垂直于

　　　 C．过点且垂直于的直线在内　　　　D．过点且垂直于的直线在内

10．空间三条射线PA，PB，PC满足∠APC=∠APB=60°，∠BPC=90°，则二面角B-PA-C 的度数　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．等于90°　　　　　　　　  　　　　　

　　　 B．是小于120°的钝角　　　　　　　　　　　　　

C．是大于等于120°小于等于135°的钝角　

　　　 D．是大于135°小于等于150°的钝角

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题满分24分，每小题6分，各题只要求直接写出结果.

11．如图所示，E、F、G是正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁相应棱的中点，

则（1）面EFG与面ABCD所成的角为　　　　  ；

（2）面EFG与面ADD₁A₁所成的角为　　　　 　　．

12．斜线PA、PB于平面α分别成40°和60°，则∠APB的取

值范围为　　　　　　 

13．在直角△ABC中，两直角边AC＝b，BC＝a，CD⊥AB于D，

　　　 把这个Rt△ABC沿CD折成直二面角A－CD－B后，

　　　 cos∠ACB＝　　　　　 ．

14．如图，两个矩形ABCD和ABEF中，AD＝AF＝1，

　　　 DC＝EF＝2，则AB与CF所成角θ的大小范

　　　 围是　　　　　  ．

三、解答题：本大题满分76分.

15．（本小题满分12分）

 求证：．

16．（本小题满分12分）正方体ABCD-A′B′C′D′棱长为1．

（1）证明：面A′BD∥面B′CD′；

（2）求点B′到面A′BD的距离．（14分）

17．（本小题满分12分）如图，平面α∥平面β，点A、C∈α，B、D∈β，点E、F分

别在线段AB、CD上，且，求证：EF∥β.

18．（本小题满分12分）如图，四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形.（1）求证：BC⊥AD；

　 （2）若点D到平面ABC的距离不小于3，求二面角A—BC—D的平面角的取值范围；

　 （3）求四面体ABCD的体积的最大值.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　

19．（本小题满分14分）在长方体中，，底边上有且

　　只有一点使得平面平面.

　 （1）求异面直线与的距离；

　 （2）求二面角的大小.

20．（本小题满分14分）如图,在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中,E、F分别是BB₁、CD的中点.

　 （1）证明AD⊥D₁F;　

　 （2）求AE与D₁F所成的角;

　 （3）证明面AED⊥面A₁FD₁;

　 （4）．

参考答案（三）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
答案	B	D	B	C	A	A	A	A	D	B

二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）

11．　 12．　　13．  14．

三、解答题（本大题共6题，共76分）

15．(12分) 证明：过b上一点作平面与α相交于b′

16．(12分) （1）证明：∵A’D∥B’C，DB∥D’B’

又∵A’D∩DB＝D，B’C∩D’B’＝B’ ∴面A’BD∥面B’CD’

（2）解法一：易知B′到平面A′BD的距离d等于A到平面A′BD的距离，

且△A′BD为等边三角形

　　　　 由可知

　　　　 解得 ∴

解法二：易知B′到面A′BD的距离d等于A到面A′BD的距离

　　　　 沿A′BD截下三棱锥A-A′BD，易知是一个正三棱锥

　　　　 过A作AF⊥A′BD，则AF即为A到平面A′BD的距离

　　　　 如右图，DE为A′B的中线，且F为△A′BD的中心

　　　　 ，

　　　　 即A到平面A′BD的距离为.

17．(12分) 证明：过A作AH∥CD交β于H，连结HD、HB、BD、AC.

∵α∥β　 ∴AH=CD∴四边形AHDC是平行四边形，

∴AC∥HD, 过F作FG∥HD交AH于G，连结GE

∴AC∥GF∥HD ∴GF∥β，∴,∵　∴,∴EG∥BH　∴EG∥β

∵EG∩GF=G　 ∴平面EGF∥β　 ∵EF平面EGF  ∴EF∥β

18．(12分) （1）证明：取BC中点O，连结AO、DO

∵△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形

　　∴AO⊥BC，DO⊥BC

∴BC⊥平面AOD　∵AD平面AOD　 ∴BC⊥AD

（2）解：由（1）知∠AOD为二面角A—BC—D的平面角，

设∠AOD=θ,作DE⊥AO于E，由（1）知平面AOD⊥平面ABC，

且平面AOD∩平面ABC=AO

∴DE⊥平面ABC，DE为D到平面ABC的距离，

又DO=BD=2 ∴DE=DOsinθ=2sinθ  ∵DE≥3　

∴sinθ≥ ∵θ∈(0,π)∴θ∈［］

（3）∵S_△ABC=×4²=4 ∵DE=DOsinθ=2sinθ,θ∈［］

∴DE≤2,DE的最大值为2 ∵V_D—ABC=×S_△ABC×DE=×4×DE

∴当DE最大时，有V_D—ABC=×4×2=8∴四面体ABCD的体积的最大值为8.

19．（14分）证明:(1)过作于

∵平面平面且平面平面

∴平面∴

又∵　∴平面

∴又∵满足条件的只有一个

∴以为直径的圆必与相切，

切点为，为的中点

∴　 ∴

∵平面，∴

又∵，所以为异面直线与的公垂线段

的长度为所求距离　

（2）取中点，连结，则平面, 过作于，连结，则,∴为二面角的平面角

又∵ ,，在中 ∴

20．(14分) 解法一:（1）∵AC₁是正方体，∴AD⊥面DC₁.　又D₁F面DC₁，　∴AD⊥D₁F.　　　

（2）取AB中点G,连结A₁G，FG.因为F是CD的中点,所以GF、AD平行且相等,又A₁D₁、AD平行且相等,所以GF、A₁D₁平行且相等,故GFD₁A₁是平行四边形,A₁G∥D₁F.

设A₁G与AE相交于点H,则∠AHA₁是AE与D₁F所成的角，

因为E是BB₁的中点,所以Rt△A₁AG≌Rt△ABE，

　　　　 ∠GA₁A=∠GAH，从而∠AHA₁=90°,即直线AE与D₁F所成角为直角.

（3）由(Ⅰ)知AD⊥D₁F,由(Ⅱ)知AE⊥D₁F,又AD∩AE=A,所以D₁F⊥面AED.又因为D₁F面A₁FD₁，

所以面AED⊥面A₁FD₁.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（4）连结GE，GD₁.　∵FG∥A₁D₁,∴FG∥面A₁ED₁，

∵AA₁=2,面积S_△A1GE=S_□ABB1A1－2S_△A1AG－S_△GBE=

又  

解法二：利用用向量求解

解析：设正方体的棱长为2，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴建立空间直角坐标系，

则D（0，0，0），A（2，0，0），F（0，1，0），E（2，2，1），A₁（2，0，2），D₁（0，0，2），

（1） ∵　,，得，∴　AD⊥D₁F;

（2）又，得　 ∴　AE与D₁F所成的角为90°

（3） 由题意：，

设平面AED的法向量为，设平面A₁FD₁的法向量为，

由　 

由  

得

∴　面AED⊥面A₁FD₁.

（4）∵AA₁=2，，

平面A₁FD₁的法向量为

 ， ∴E到平面A₁FD₁的距离，

．