高中学生学科素质训练

　　高二数学同步测试（5）—曲线方程和圆

共150分，考试用时120分钟

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．如果命题“坐标满足方程的点都在曲线上”是不正确的，那么下列命题中正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

A．坐标满足方程于的点都不在曲线上

B．曲线上的点的坐标不都满足方程

C．坐标满足方程的点有些在曲线上，有些不在曲线上

D．至少有一个点不在曲线上，其坐标满足方程

2．等腰三角形，若一腰的两个端点坐标分别是，，顶点，则另一腰的一个端点的轨迹方程是　　　　　　  　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

A．

B．

C．  

D．

3．定义运算，则符合条件的点P（x, y）的轨迹方程为　　　　　　　　　　　　 　（　　）

　　　 A．(x－1)²+4y²=1　　　　　　　　　　　　　　　　　　B．(x－1)²－4y²=1

　　　 C．(x－1)²+y²=1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D．(x－1)²－y²=1

4．设实数满足条件的最大值　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．23　　　　　　　　　　　B．25　　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　 D．5

5．关于x，y的方程Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0表示一个圆的充要条件是　　　　　　　　 （　　）

A．B=0，且A=C≠0 B．B=1且D²+E²-4AF＞0

　　　 C．B=0且A=C≠0，D²+E²－4AF≥0　　　　D．B=0且A=C≠0,D²+E²－4AF＞0

6．如果动点P是△ABC所在平面上的点，且，则点P的轨迹为　　　 （　　）

　　A．两条平行直线　　　　　　  　　　　　　B．过点B的两条直线（除点B）

　　C．∠BAC的平分线　　　　　 　　　　　　 D．AC边的中垂线

7．对于满足x²+(y-1)²=1的任意x,y，不等式x+y+d≥0恒成立，则实数d的取值范围是（　　）

A．[－1，+∞]　　　　　　　　　　　　　　　　　B．(－∞，－1)

C．[ +1，+∞]　　　　　　　　　　　　　　　　　D．(－∞， +1)

8．（2004全国文理2-4）已知圆C与圆关于直线对称，则圆C的方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　  　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　　　　　 B．

　　　 C．　　　　　　　　　　　　　　　 D．

9．一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

A．1.8米　　　　　　　　 B．3米　　　　　　　　　　C．3.6米　　　　　　　　 D．4米

10．若两直线y=x+2k与y=2x+k+1的交点P在圆x²+y²=4的内部，则k的范围是　　 （　　）

　　　 A．－＜k＜－1　　　　　　　　　　　　　　　　　　B．－＜k＜1

　　　 C．－＜k＜1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D．－2＜k＜2

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11．圆C：为参数）的普通方程为　　   ，设O为坐标原点，点M(x₀, y₀)在C上运动，点P(x, y)是线段OM的中点，则点P的轨迹方程为　　　  .

12．由动点P向圆PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，则动点P的轨迹方程是　　　　　　　　　　　　  .

13．已知，则下列结论正确的是　　　　　 （请将你认为正确的结论的序号全部填入）.

　　①它的图象关于x轴对称；

　　　 ②它的图象关于y轴对称；

　　　 ③它的图象关于原点对称；

　　　 ④它的图象是一个封闭图形，且面积大于

　　　 ⑤它的图象是一个封闭图形，且面积小于

14．已知P(3，0)是圆x²+y²－8x－2y+12=0内一点则过点P的最短弦所在直线方程是　　　　　　 ，过点P的最长弦所在直线方程是　　　　　　 .

15．若集合A={(x、y)｜y=－｜x｜－2}，B={(x,y)｜(x－a)²+y²=a²}满足A∩B=，则实数a的取值范围是　　　　　　 .

三、解答题（本大题共6题，共75分）

16．（12分）自点A(－3，3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线m所在直线与圆x²+y²－4x－4y+7=0相切，求光线l与m所在直线方程.

17．（12分）已知直角坐标平面内点Q(2，0)，圆C：x²+y²=1，动点M到圆C的切线长与

｜MQ｜的比等于常数λ(λ＞0)，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.

18．（12分）AB是圆O的直径，且｜AB｜=2a,M是圆上一动点，作MN⊥AB，垂足为N，在OM上取点P，使｜OP｜=｜MN｜，求点P的轨迹.

19．（12分）已知P（1，2）为圆内一定点，过P作两条互相垂直的任意弦交圆于B、C两点，求B、C中点M的轨迹方程。

20．（13分）如图所示，已知P(4，0)是圆x²+y²=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.

21．（14分）设a、b、c都是整数，过圆外一点向圆引两条切线，试证明：过这两切点的直线上的任意一点都不是格点（所谓格点是指：横、纵坐标都是整数的点）。

参 考 答 案（5）

一、选择题（每小题5分，共50分）

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
D	B	A	A	D	B	A	C	C	C

二、填空题（每小题5分，共25分）

11．  12．

13．①②③④　令点则该点在圆上，且在曲线内.故它的图象围成封闭的图形的面积大于π.

14．8.x+y－3=0，x－y－3=0　　 15．－2(+1)＜a＜2(+1)

三解答题（本大题共6题，共75分）

16．（12分）l的方程为：3x+4y－3=0或4x+3y+3=0

M的方程为3x－4y－3＝0或4x－3y+3＝0　

17. （12分）M的轨迹方程为(λ²－1)(x²+y²)－4λ²x+(1+4x²)=0，当λ=1时，方程为直线x=.

当λ≠1时，方程为(x－)²+y²=它表示圆，该圆圆心坐标为(,0)

半径为

18. （12分）x²+(y±)²=()²轨迹是分别以CO，CD为直径的两个圆.

19．（12分）作出示意图如图30所示，连PM、OM、OC，设M（x，y）。

则在Rt△OMC中，，又，

故，化简整理即得

，它就是所求的点M的轨迹方程。

20．（13分）命题意图：本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的

轨迹方程，属★★★★★级题目.

知识依托：利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段AB中点的轨迹方程.

错解分析：欲求Q的轨迹方程，应先求R的轨迹方程，若学生思考不深刻，发现不了问

题的实质，很难解决此题.

技巧与方法：对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨

迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程.

解：设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，AR=PR.

又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在Rt△OAR中，AR²=AO²－OR²=36－(x²+y²)

又AR=PR=

所以有(x－4)²+y²=36－(x²+y²),即x²+y²－4x－10=0

因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动.

设Q(x,y)，R(x₁,y₁)，因为R是PQ的中点，所以x₁=,

代入方程x²+y²－4x－10=0,得

－10=0

整理得：x²+y²=56,这就是所求的轨迹方程.

21．（14分）线段OP的中点的坐标为，以OP为直径的圆的方程为

　　。（1）

　　将代入（1）得

　　。

　　它就是过两切点的直线方程，如果有在格点。

　　因，它为三个连续数的乘积，显然能被3整除，

　　同理，亦能被3整除。

　　于是能被3整除，从而3a+1也必须能被3整除，显然这是不可能的，从而，原命题得证。