斗门区一中05—06学年第二学期期中教学质量检测

高二数学（文科）

作者：广东珠海　 于发智

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．在复平面内，复数所对应的点位于 （　　 ）　　　　　　　　　 

（A）第一象限　　（B）第二象限　　 （C）第三象限　　　（D）第四象限

2. ,若,则的值等于（　 ）

（A）　　　　　　（B）　　 　　　 （C）　　　　　　　（D）

3. 在三维柱形图中，主对角线上两个柱形高度的乘积与副对角线上的两个柱形的高度的乘积相差越大两个变量有关系的可能性就（　　 ）

(A) 越大　　　　 (B)越小　　　　  (C)无法判断　　　(D) 以上都不对

4．右图是《集合》的知识结构图，如果要加入“交集”，则应该放在（　　）

（A）“集合”的下位

（B）“含义与表示”的下位

（C）“基本关系”的下位

（D）“基本运算”的下位

5. 有下列说法：

①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适；　

 ②相关指数R²来刻画回归的效果，R²值越大，说明模型的拟合效果越好；

③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，

拟合效果越好.

其中错误命题的个数是（　  ）

（A）0　　　 （B）1　　（C）　2　　　 （D） 3

6．若是虚数单位，则　　　　。　

　 （A）　0　　　　　　　　　　　 （B） 2　　　　　　　　　　

（C）　　　　　　　　　　　 （D） 5

7．在如右图的程序图中，输出结果是（　　）

A.  5　 B.  10　　C.  20　 D . 15

8．一同学在电脑中打出如下若干个圆（图中●表示实心圆，○表示空心圆）：

○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●

若将此若干个圆依次复制得到一系列圆，那么在前2006个圆中有（　　）个实心圆。

（A）．500　　　　（B）．501 　　（C）．　502　　　  （D）． 503

9．下列图象中，有一个是函数的

导函数的图象，

则　　（　　　）

（A）　 　　　（B）　 　　　（C）　 　　　（D）或

10．编辑一个运算程序：1&1 = 2 , m&n = k , m&(n + 1) = k + 2，则 1&2006 的

输出结果为（ 　　）
A　4014　　　　　　　　　　 B　4012　　　　　　　　　C　4010　　　　　　　　 D　4008

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．

11. 设为虚数单位，那么=　　　　　　 .

12. 曲线y =x³在点P（2，8）处的切线方程是___________.

13.若有一组数据的总偏差平方和为100，相关指数为0.7，则其残差平方和为_________,

　  回归平方和为____________.

14．将给定的25个数排成如右图所示的数表，若每行5个数

按从左至右的顺序构成等差数列，每列的5个数按从上到下的

顺序也构成等差数列，且表正中间一个数a₃₃＝1，则表中所有

数之和为　　　　 　

三．解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15、(本小题12分)实数m取什么数值时，复数分别是：

(1)实数？　(2)虚数？　(3)纯虚数？

16. （本大题满分12分）为了研究患慢性气管炎与吸烟量的关系，调查了228人，其中每天的吸烟支数在10支以上的20支以下的调查者中，患者人数有98人，非患者人数有89人，每天的吸烟支数在20支以上的调查者中，患者人数有25人，非患者人数有16人。

（1）根据以上数据建立一个2×2的列联表；

（2），试问患慢性气管炎是否与吸烟量相互独立？

参考公式

	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

17. (本小题14分) 已知a>0，b>0，判断a³+b³与a²b+ab²的大小，并证明你的结论.

18. （本大题满分14分）新课标要求学生数学模块学分认定由模块成绩决定，模块成绩C由模块考试成绩C₁和平时成绩C₂构成，各占50%，若模块成绩大于或等于60分，获得2学分，否则不能获得学分（记为0分），设计一算法，通过考试成绩和平时成绩计算学分，并画出程序框图。

19. (本小题14分) 已知平面向量=(,-1).=(,).

(1)　证明： ⊥；

(2)　若存在不同时为零的实数y和x，使=+(x²-3)，=-y+x，⊥，

试求函数关系式y = f (x) ；

(3)　据(2)的结论，当k取不同值时，讨论关于x的方程f(x)-k=0的解的个数 .

20. (本小题14分) 在DEF中有余弦定理：

. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，

写出斜三棱柱ABC-的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，

并予以证明.

参考答案

题　号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
答　案	A	D	A	D	A	D	C	C	B	B

11.　0　 12.  y =12x－16　 13. 　30 ， 70　 14．25

15.解：(1)当，即时，复数z是实数；……4分

(2)当，即时，复数z是虚数；……8分

(3)当，且时，即时，复数z 是纯虚数. ……12分

16. 解：（1）根据已知数据建立2×2的列联表如下：……4分

患者 吸烟量	患病者	非患病者	总计
10支以上20支以下	98	89	187
20支以上	25	16	41
总计	123	105	228

（2）假设“患慢性气管炎与吸烟量无关”，则……5分 …9分

　 又∵（或）

　　 ∴（）……11分

∴有40%的把握认为患慢性气管炎与吸烟相互独立。（或作答：没有充分证据认为患慢性气管炎与吸烟有关。）……12分

17.

结论：a³+b³≥a²b+ab². ……3分

证明一：比较法（作差）

（a³+b³）-（a²b+ab²）=（a³- a²b）+（b³-ab²）……5分

=a²(a-b)+b²(b-a) =(a-b)( a²-b²) =( a-b)²(a+b). ……10分

∵a>0，b>0，∴a+b>0，而( a-b)²≥0. ……12分

∴( a-b)²(a+b)≥0.

故（a³+b³）-（a²b+ab²）≥0, ……13分

即a³+b³≥a²b+ab². ……14分

证明二：比较法（作商）

证明三：分析法

证明四：综合法

∵a²+b²≥2ab，∴a²+b²-ab≥ab.

又∵a>0，b>0，∴a+b>0，

故(a+b)(a²+b²-ab)≥ab(a+b).

即a³+b³≥a²b+ab².

18.

 解：（1）算法：第一步：输入考试成绩C₁和平时成绩C₂，……2分

 第二步：计算模块成绩……4分

第三步：判断C与60的大小，输出学分F……6分

　　　 若，则输出F=2；

若，则输出F=0。

（2）程序框图：（如右图）……14分

19.

解(1)∵=×+(-1)×=0　 ∴⊥.……3分

(2)∵⊥，∴=0　即[+(x²-3) ]·(-y+x)=0. ……4分

整理后得-y+ [x-y(x²-3)] + x (x²-3)·=0……5分

∵=0，=4，=1，……6分

∴上式化为-4y+x(x²-3)=0，即y=x(x²-3) （） …… 8分

(3)讨论方程x(x²-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(x)= x(x²-3)与直线y=k的交点个数. ……9分

于是f′(x)= (x²-1)= (x+1)(x-1).

令f′(x)=0,解得x₁=-1,x₂=1.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：

x	(-∞,-1)	-1	(-1,0)	(0,1)	1	(1,+ ∞)
f′(x)	+	0			0	+
f (x)	↗	极大值	↘	↘	极小值	↗

当x= -1时，f(x)有极大值，f(x)_极大值=.

当x=1时，f(x)有极小值，f(x)_极小值=.……11分

函数f(x)=x(x²-3)的图象如图所示，

可观察出：

(1)当k＞或k＜-时,方程f(x)-k= 0有且只有一解；……12分

(2)当k=或k=-时,方程f(x)-k= 0有两解；……13分

(3) 当-＜k＜0或0＜k＜时,方程f(x)-k= 0有三解. ……14分

20.

分析　根据类比猜想得出.

　其中为侧面为与所成的二面角的平面角. ……6分　

证明： 作斜三棱柱的直截面DEF，则为面与面所成角，在中有余弦定理：

，…………10分

同乘以，得

即　　…………14分