高二数学同步测试—空间向量（6）
一．选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．平行六面体 
中，E,F,G,H,P,Q是
的中点，则有关系 （ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知空间三点O(0，0, 0), A(-1, 1, 0), B(0, 1, 1), 在直线OA上有一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为 （ ）
A．(-2, 2, 0) B．(2, -2, 0) C．
D．
3．若
则
是
的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．在棱长为1的正四面体ABCD中，E, F分别是 BC, AD的中点，则
（ ）
A． 0
B． 
C． 
D． 
5．O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
则P的轨迹一定通过△ABC的 （ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
6．如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：
①
；
②
；
③三棱锥D—ABC是正三棱锥；
④平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直．
其中正确的是 （ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
7． 若
, 
, 则
= （ ）
A． 4 B． 15 C． 7 D． 3
8． 三棱柱
中，M、N分别是
、
的中点，设
，
，
，则
等于 （ ）
A．
B．
C．
D．
9．设
={1,2,0}, 
={1,0,1}，则：“
={
，－
，－}”是“
,且为单位向量”的 （ ）
A． 充要条件 B． 充分不必要条件
C． 必要不充分条件 D． 既非充分条件也非必要条件
10．给出下列四个结论：
①若平面α内两条直线与平面
内两条直线分别平行，则α∥；
②过直线外一点能作一条直线与已知直线平行；
③如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么，这两个角相等；
④若
，则A,B,C三点共线．
其中恒成立的是 （ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
11．如图，在平行六面体ABCD–A1B1C1D1中，M为AC
与BD的交点．若
,
,
,则下列
向量中与
相等的向量是
（ ）
| |
B．
C．
D．
12．如图，正三棱锥P-ABC的底面边长为1，
E,F,G,H,分别是PA,AC,BC,PD的中点，四边形EFGH
的面积为S(x)，则S(x)值域为 （ ）
A． ｛
｝ B．（0, +∞） C ． （
, +∞） D．（
, +∞）
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
13． 已知
＝（—4,2,x），
＝(2,1,3),且⊥，则x＝ ．
14． 向量
，
，则
和
所夹角是 ．
15． 已知A(1, 0, 0), B(0, 1, 0 ), C(0, 0, 1), 点D满足条件：DB⊥AC, DC⊥AB,
AD=BC, 则D的坐标为 ．
16． 设
是直线，
是平面，
，向量
在
上，向量
在
上，
，则所成二面角中较小的一个的大小为
．
三、解答题（本大题满分74分）
17．(10分)已知向量
满足
, 
．
求
．
18．（12分） 给定⊿ABC，对空间中的一点P，建立如下变换f：AP的中点为Q, BQ的中点为R, CR的中点为P′, f(P)=P′,则对于变换f,是否存在不动点（即P与P′重合的点）？
19．（12分）正方形ABCD，ABEF的边长都是1，且平面ABCD,ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a (0<a<
), 求当MN的长最小时，面MNA与面MNB所成的二面角
的大小．
20．（12分）
如图所示四面体ABCD中，AB、BC、BD两两互相垂直，且AB=BC=2，E是AC中点，异面直线AD与BE所成的角的
大小为
，求四面体ABCD的体积．
|
直，∠ACB=90°，E、F分别是AB、BC的中点，
G是AA1上的点．
（1）若AC1⊥EG，试确定点G的位置；
（2）在满足条件（1）的情况下，
试求cos＜AC，GF＞的值．
22．（14分） 在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角，AE⊥PD，垂足为E。建立空间直角坐标系A－xyz，如图。
（１）证明BE⊥PD；
（２）求异面直线AE与CD所成的角；
（３）设n=(1,p,q)，满足n⊥平面PCD，求n的坐标．
高二数学（六）参考答案
一、选择题
1．A 2．C 3．A 4．D 5．B 6．B 7．D 8．D 9．B 10．D 11．A 12．C
2．解：设
以
为基底，则
所以
．选A．
3．解：设
, 易知. 即条件具有充分性．
又若
时，
，虽有，但条件
显然不成立，所以条件不具有必然性．
4．解：
=
=
=
=
．选D．
12．解：当顶点P与底面正⊿ABC重心很接近时，矩形EFGH的面积较小；重合时矩形的面积为
选C．
二、填空题
13． 2 14．60° 15．（1，1，1）或
16．
14．解：由
, 
,
有
，
,
解得
,
, 
．
15解：设D(x, y, z), 则
，
（x-1, y, z）,
(-1, 0, 1), 
(-1,1, 0), 
(0, -1, 1)． 又DB⊥AC
-x+z=0,
DC⊥AB-x+y=0,
AD=BC
联立解得x=y=z=1或x=y=z=
所以D点为（1，1，1）或．
三、解答题
17．解：
得=
18．解：由已知，有
且
．要使P′,P重合，应有
，
．
∴符合条件的不动点存在．
19．解：如图 建立空间直角坐标系，则B(0,0,0), A(1,0,0), M
N
(0<a<),
∴当a=
,即M,N分别是AC,BF的中点时，MN最小，此时，M
MN的中点G
则
是二面角的平面角．
故所求二面角=arccos
．
20．解法一：如图建立空间直角坐标系，
由题意，有
，
，
．
设D点的坐标为
，
则
，
则
，
| |
所成的角的大小为．
∴
， 得
，故BD的长度是4，
又
， 因此四面体ABCD的体积是
，
解法二：过A引BE的平行线，交CB的延长线于F，∠DAF是异面直线BE与AD所成的角．
∴∠DAF=，
∵E是AC的中点，∴B是CF的中点， AF=2BE=
．
又BF，BA分别是DF，DA的射影，且BF=BC=BA， ∴DF=DA
三角形ADF是等腰三角形，
AD=
， 故 
，
|
．
21．解：（１）由正方形ACC1A1与等腰直角△ACB互相
垂直，∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∴BC⊥CC1．以C
为坐标原点，建立空间直角坐标系C—xyz，如图．
设AC=CB=a，AG=x，则A（0，a，0）．
C1（0，0，a），G（0，a，x），E（-
，，0）．
AC1=（0，-a，a），EG=（-，，x）．
∵AC1·EG=0，∴-
+xa=0． ∴x=，∴G为AA1的中点．
（２）∵G（0，a，），F（，0，0），
∴GF=（，-a，-），AC1=（0，-a，a）．（9分）
∴ GF =
a， AC1 =
a，∴GF·AC1=a2-=．
∴cos＜AC1，GF＞=
．
22．解：由已知，得A(0, 0, 0), B(a, 0, 0), C(a, a, 0), D(0, 2a, 0)．
∵PA⊥面ABCD，PD与面ABCD成30°，
∴∠PDA=30°，
∴P(0, 0, 
a)．
过E作EF⊥AD，垂足为F，则AE=a，∠EAF=60°，AF=
a，EF=
a．
∴E(0, a, a) ．
（１）BE=（﹣a，a, a），
PD=(0, 2a,，﹣a)，
∴BE·PD=a·2a+a·(﹣a) =0，
∴BE⊥PD．
（２）AE=（0，a, a），CD=（﹣a，a，0），
∴cos<AE, CD> =
．
∴异面直线AE与CD所成的角为arccos
．
（３）∵n⊥平面PCD，∴n⊥PD，n⊥CD，
又n=（1，p,q）, PD=(2, 2a, ﹣a), CD=(﹣a, a, 0),
∴n·PD=0·1+2a·p－
a·q=0，
n·CD=1·(﹣a)+a·p+q·0=0，
即 p－
q=0 ∴ p=1
p－1=0
q=，
即n的坐标为(1, 1, )．