高中学生学科素质训练

高二数学测试题—简单几何体（4）

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．长方体的全面积为11，十二条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为（　　）

　　　 A．5　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B．6　　　　　　　　　　　　

　　　 C．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．

2．在三棱柱ABC—A′B′C′中，侧面A′ACC′是垂直于底面的菱形，BC⊥A′C′，则A′B与AC′所在直线所成的角度为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．45°　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B．60°　　　　　　　　　

　　　 C．90°　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D．不确定

3．在斜三棱柱ABC—A′B′C′中，∠A′AB=∠A′AC，∠ABC=∠ACB，则下列判断不正确的是　　　　　（　　）

　　　 A．AA′⊥B′C′　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　 B．侧面BB′C′C是矩形

　　　 C．A′A在底面ABC上的射影在∠BAC的平分线上

　　　 D．A′在底面上的射影是△ABC的内心

4．长方体三条棱长分别是AA′=1，AB=2，AD=4，则从A点出发，沿长方体的表面到

C′的最短矩离是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．5　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B．7　　　　　　　　　　　　

　　　 C．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．

5．平行六面体的棱长都是a，从一个顶点出发的三条棱两两都成60°角，则该平行六面体的体积为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　C．　　　　　　　 D．

6．正四棱锥的一个对角面与侧面的面积之比为，则侧面与底面所成的二面角为（　　）

　　　 A． 　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　　　D．

7．将一个边长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　　　　　　 B．12a²　　　　　　　　　　C．18a²　　　　　　　　　 D．24a²

8．正四面体的侧棱与底面所成角的正弦值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A． 　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　D．

9．直三棱柱各侧棱和底面边长均为a，点D是CC′上任意一点，连结A′B，BD，A′D，AD，则三棱锥A—A′BD的体积　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　　　　　　B．　　　　　　　 C．　　　　　　　 D．

10．设正多面体的每个面都是正n边形，以每个顶点为端点的棱有m条，棱数是E，面数是F，则它们之间的关系不正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．nF=2E　　　　　　　　B．mV=2E　　　　　　　 C．V+F=E+2　　　　　　D．mF=2E

二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）

11．如果两个球的表面积之比是4：1，那么这两个球的体积之比是　　　　　　　   .

12．三棱锥P—ABC的侧面PAB，PBC是等边三角形，且∠APC为直角，则二面角P—AC—B的大小为 　　　　　　　　　 .

13．在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD、侧面PCD与底成ABCD都垂直，底面是边长为3的正方形，PD=4，则四棱锥P—ABCD的全面积为　　　　　　  　　 .

14．在北纬60°圈上有A、B两地，在这纬度圈上AB的长度为（R为地球半径），则这两地的球面距离为　　　　　　　   .

三、解答题（本大题共6题，共76分）

15．在棱锥P—ABC中，PA、PB、PC两两成60°角，PA=a,PB=b,PC=c,求三棱锥P—ABC的体积（12分）

16．已知圆锥的母线长为10cm，高为8cm，求此圆锥的内切球的体积（12分）

17．在平行四边形ABCD中，AD=a，AB=2a，∠ADC=60°，M、N分别是AB、CD的中点，以MN为折痕把平行四边形折成三棱柱AMB—DNC的两个侧面，求三棱柱体积的最大值.(12分)

18．如图，直三棱柱的底面为Rt△ABC，∠ACB=90°，AB=4，∠ABC=15°，将两侧面C₁CAA₁与C₁CBB₁铺平在一个平面内，得矩形A′B′B₁′A₁′.此时A′C₁⊥B′C₁，求棱柱的侧面积.（12分）

19．已知正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁，底面边长为3，侧棱长为4，连CD₁，作C₁M⊥CD₁交DD₁于M.

（1）求证：BD₁⊥平面A₁C₁M.

（2）求二面角C₁—A₁M—D₁的大小.(14分)

20．过半径为R的球面上一点P引三条长度相等的弦PA、PB、PC，它们间两两夹角相等。

（1）若∠APB=2θ，求弦长关于θ的函数表达式.

（2）求三棱锥P—ABC体积的最大值（14分）

高二数学参考答案

（四）简单几何体

一、选择题

1．A　2．C　3．D　4．A　5．C　6．D　7．B　8．C　9．B　10．D

二、填空题

11．8：1　　 12．90°　　

13．36　　

14．

三、解答题

15．解：如图，设顶点A在平面PBC上的射影

为O，连结PO，由题知PA、PB、PC两两成60°

角，∴PH是∠BPC的平分线，在平面PBC上，过

O作OE⊥PB，连结AE，则AE⊥PB

16．解法一：如图作圆锥的轴截面，则截球为大圆⊙O₁，

过圆心O₁作母线VA的垂线O₁C，垂足为C，设圆锥半径为R，

内切球半径为r，当线长为l，高为h，则l=10cm,h=8cm

∵△VO₁C∽△VAO

∴O₁C：O₁A=AO：AV

17．解：在平行四边形ABCD中，连结AC，由已知，AD=a,CD=2a,∠ADC=60°

∴AD⊥AC,MN⊥AC，设AC∩MN=E，故折成三棱柱AMB—DNC后，∠AEC是二面角A—MN—C的平面角，△AEC是这个三棱柱的直截面.由题可得,

18．解：在Rt△ABC中,AC=4sin15°,BC=4cos15°

19．

20．解：（1）由题知P—ABC为正三棱锥，作其高PO′，则O′为正△ABC的中心,球心O在PO′上

设PO′=h,PA=a