德州市高二年级期末考试(理)(1)

2014-5-11 0:19:18 下载本试卷

德州市2005-2006学年度高二年级期末考试

高二数学(理)

一、选择题

1.=(  )A.    B.    C. 2  D.-2

2.在抛物线y2=2px(p>0)上,横坐标为4的点到焦点的距离是5,则p的值为(  )

A.      B.1     C.2      D.4

3.中心在坐标原点,离心率为的双曲线焦点在y轴上,则它的渐近线方程为(  )

  A.y=x  B.y=x   C.y=x   D.y=x                         

4.椭圆的内接正方形的面积是(  )

A.       B.12     C.24      D.48

5.用数学归纳法证明(n是正整数)时,当n由k到k+1,不等式左边的变化是(  )

A.增加一项      B.增加两项且减少一项

C增加两项D.增加一项

6. 空间四边形OABC中, 点M在OA上,且 =2,N为BC的中点,则等于()

  A.     B.  C.  D.

7.己知双曲线的两个焦点为,p是此双曲线上一点且则该双曲线的方程为(  )

A.  B.   C.    D.

8.己知F1,F2分别为椭圆的左右焦点,M为椭圆上的一点,MF1垂直于x轴,且∠F1MF2=60°,则椭圆的离心率为(  )

A.         B.        C.         D.

9. 的最小值是()

  A.    B.    C.    D.

10.空间不共面的四点O、A、B、C,若=0,且OA=OB=OC,则<>=(   )

   A.450  B.600  C.900  D.1350

11. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点p是侧面BB1C1C内一动点,若点p到直线

BC与直线C1D1的距离相等,则动点p的轨迹是(  )

A.双曲线     B.圆       C.椭圆       D.抛物线

12.在以下命题中,不正确的个数为(  )

共线的充要条件。②若,则存在惟一的实数使③对空间任意一点O和不共线三点A,B,C若,则P、A、B、C四点共面。

④若  为空间的一个基底,则  构成空间的另一个基底      

 A.1      B.2       C.3         D.4

二、填空题

13. 己知则x=      

14. 直线x-y+1=0和椭圆相交于A、B两点,则弦        

15. 把正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角,点E、F分别为AD、BC的中点,点O为原正方形ABCD的中心,则折起后∠EOF=       .

 16.设x1,x2 R常数a>0,定义运算,等号右边是通常的乘法运算,如果在平面直角坐标系中,动点p的坐标(x,y)满足关系式:,则动点p的轨迹方程是              

17.已知f(z)=1+,且f(-)=10+3i,求复数.

18.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F,G分别是DD1、BD、BB1的中点

(1)    求证:EFCF。(2)求EF与CG所成角的余弦值。

19.若一直线与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,且,坐标原点O在直线AB的射影为D(2,1),求该抛物线的方程.

20.是否存在实数a、b使等式22+42+62+…+(2n)2=n(n+1)(an+b)对任意的正整数n都成立,若不存在,说明理由;若存在,试确定a,b的值,并用数学归纳法证明之.

21.直二面角D-AB-E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE=EB,F是CE上的点,且BF平面ACE

(1)求证:AE平面BCE(2)求二面角B-AC-E的大小(3)求点D到平面ACE的距离。

22.(本小题满分14分)已知ABC是长轴长为4的椭圆上的三点,点A是长轴的一个顶点,BC过椭圆中心O,如图,且·=0,BC=2AC

  (1)求椭圆的方程;

  (2)椭圆上是否存在两点PQ使∠PCQ的平分线垂直AO,且PQ平行于AB,并说明理由.

参考答案

DCDAB  BACCC  DC

x=-6      120º   y2=4ax(a>0)

17.解:f()=1+z-  f(-z)=1-z+…………2分

设z=a+bi (a、b∈R) 由f(-z)=10+3i得

1-(a+bi)+a-bi=10+3i

………………6分

解方程组得…………………………10分

所以复数z=5-3i……………12分

18.证明:如图,以D点为原点,建立空间直角坐标系,

(1)则

    …………………………………………2分

………………………………6分

(2)

…………………………………………………………8分

故EF与CG所成角的余弦值为…………………………………………12分

19. 解:由题意知直线OD的斜率为,所以直线AB的斜率为-2,且过D点,

∴直线AB的方程为2x+y-5=0,………………………………2分

与y2=2px联立消去x得

y2+py-5p=0…………………………………4分

设A(x1,y1), B(x2,y2)则因,所以x1x2+y1y2=0……………………6分

∵y1+y2=-p,y1y2=-5p,

x1x2=…………………………8分

-5p=0得p=………………………10分

所以所求抛物线的方程为y2=………………………………12分

20. 解:存在,

  当n=1时22=1×2×(a+b)    得a+b=2

当n=2时 22+42=2×3(2a+b)  得6a+3b=10

  所以得a= b=…………………………………4分

  证明:⑴当n=1时,由以上知等式成立…………………6分

    ⑵ 假设当n=k时等式成立,即

   22+42+62+…+(2k)2=k(k+1)( k+)

则22+42+62+…+(2k)2+[2(k+1)]2= k(k+1)( k+)+[2(k+1)]2…………8分

 =(k+1)( k2+k+4k+4)=(k+1)( k2+k+4)=(k+1)(k+2)( k+2)

=(k+1)[(k+1)+1] [(k+1)+ ]

所以当n=k+1时等式也成立.…………………………10分

由⑴⑵知对于任意正整数n等式22+42+62+…+(2n)2=n(n+1)( n+)都成立…12分

21.(1)证明:∵BF平面ACE  ∴BFAE

    ∵D-AB-E是直二面角  CBAB

    ∴CB平面ABE

    ∴CBAE  CBBF=B

    ∴AE平面BCE……………………………………3分

 (2)以线段AB的中点O为原点,建立空间直角坐标系

则AE=(1,1,0)  AC=(0,2,2)………………………………5分

设平面AEC的一个法向量n =(x,y,z)

则     即    

令x=1 得n(1,-1,1)

又设平面BAC的一个法向量为m(1,0,0)……………………7分

Cos<m,n>=

故二面角B-AC-E的大小为arccos…………………………9分

(3)AD∥E轴,  AD=(0,0,2)

故点D到ACE之距为………………………………12分

22.(1)由已知可得点A(-6,0),F(4,0)

  设点P(x,y),则=(x+6,y),=(x-4,y), ……………2分

由已知可得

   

    (x+6)(x-4)+y2=0

  则2x2+9x-18=0,x=或x=-6. ……………4分

  由于y>0,只能x=,于是y=.

  ∴点P的坐标是(,)……………6分

  (2) 直线AP的方程是x-y+6=0. ……………8分

  设点M(m,0),则M到直线AP的距离是.

  于是=,又-6≤m≤6,解得m=2. ……………10分

  椭圆上的点(x,y)到点M的距离d有

  d2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20-x2=(x-)2+15,

由于-6≤x≤6, ∴当x=时,d取得最小值 ……………14分

(1)以O为原点,OA所在的直线为x轴建立如图所

示的直角坐标系

A(2,0),设所求椭圆的方程为: =1(0<b<2),

由椭圆的对称性知OC=OB,由·=0得ACBC

BC=2AC,∴OC=AC

∴△AOC是等腰直角三角形,∴C的坐标为(1,1),

C点在椭圆上

=1,∴b2=,所求的椭圆方程为=1       ……………6分

(2)由于∠PCQ的平分线垂直OA(即垂直于x轴),不妨设直线PC的斜率为k,则直线QC的斜率为-k,直线PC的方程为:y=k(x-1)+1,直线QC的方程为y=-k(x-1)+1, ……………8分

 得:(1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0(*)  ……………10分

∵点C(1,1)在椭圆上,∴x=1是方程(*)的一个根,则其另一根为,设PxP,yP),Q(xQ,yQ),xP=,  同理xQ=,

kPQ=………12分

而由对称性知B(-1,-1),又A(2,0)   ∴kAB=

∴存在两点PQ使∠PCQ的平分线垂直AO,且PQ平行于AB。………14分