博罗高级中学2005年秋季期末考试试题

　　　　　  高二数学(文科)

说明：本试题分选择题和非选择题两部分. 满分150分. 考试时间120分钟

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一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的。请把答案写在答题卡上。）

1.命题.下列结论正确的是（　）

A. 为真　　B. 为真　　 C. 为假　　D. 为真

2．设原命题：若a+b≥2，则a,b 中至少有一个不小于1.

则原命题与其逆命题的真假情况是（　　）

　　A．原命题真，逆命题假　　　　　　　　　B．原命题假，逆命题真

　　C．原命题与逆命题均为真命题　　　　　　D．原命题与逆命题均为假命题

3．抛物线 的焦点坐标是　　　　  　 (　 )　　　　　　　　　

A．　 B．　C．　　 D．

4．若f(x)=sinα－cosx,则f′(α)等于（　　）

A、sinα　　　B、cosα　　　C、sinα+cosα　　　 D、2sinα

5、方程=-1表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是  (　　)

A. -16<m<25　　 B.m<-16  　　C.m<-16或m>25　　　D. m>25

6. 椭圆(a＞b＞0)的中心O与一个焦点F及短轴的一个端点M组成等腰直角三角形FMO，则它的离心率是(　 )

　 A.　　 B.　　　 C.　　　　D.

7．下列求导运算正确的是（　　）

　A、　　　　　  　　　　　　B、

C、　　 　　　　　　　 D、

8．函数有（　　）

A、极大值5，极小值－27　　　　　 B、极大值5，极小值－11

C、极大值5，无极小值　　　　 　　D、极小值－27，无极大值

9．椭圆的焦点为F₁和F₂，点P在椭圆上，如果线段PF₁中点在y轴上，那么PF₁是PF₂的　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　　）　 　　　　　　　　　　 A．7倍　　　　　　 B．5倍　　　　 C．4倍　　　　 D．3倍

10.记定点M与抛物线上的点P之间距离为，P到抛物线准线的距离为，则当取最小值时，P点坐标为　（　 ）

A. (1, ) 　　　 B．（0，0）　　 　C. (2 ，2 )　　 D.

二、填空题（每小题5分，共20分, 请把答案写在答题卡上。）

11．椭圆与双曲线有相同的焦点F₁ 和F₂，P为椭圆上一点，且F₁F₂是PF₁与PF₂的等差中项，则椭圆的方程为_______________________；

12、 函数的单调区间是___________________________；

13、曲线在点M(e,1)处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________；

14、P是抛物线y²=x上的动点，Q是圆(x-3)²+y²=1的动点，则｜PQ｜的最小值为　　　　 .

博罗高级中学2005年秋季期末考试试题

　　　　 高二数学(文科)答题卷 

一、选择题（每小题5分，共50分）

题 号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
答 案

二、填空题（每小题5分，共20分）

11．　　　　　　　  　　　　 12.　　　　　　　  　　　

13.　　　　　　　　　  　　 

14、　　　　　　　　　  　　

三、解答题（共80分）

15.（本小题10分） 已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率，短轴长为，求椭圆的方程．

16.（本小题满分14分）求函数在区间上的最大值与最小值。

17.(本小题14分)命题p ：关于的一元二次方程有两个不相等的异根。

命题q ：关于的一元二次方程有两个正根。

命题p和命题q有且只有一个为真，求m的取值范围。

18、(本小题14分)如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

19．（本小题满分14分） 已知椭圆的离心率是，F是其左焦点，若直线与椭圆交于AB两点，且，求该椭圆的方程。

 

20（本题14分）设双曲线：的焦点为F₁,F₂.离心率为2。

（1）求此双曲线渐近线L₁,L₂的方程；

（2）若A,B分别为L₁,L₂上的动点，且2,求线段AB中点M的

轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

 

博罗高级中学2005年秋季期末考试试题

　　　　高二数学(文科)参考答案

一、选择题（每小题5分，共50分）

题 号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
答 案	A	A	C	A	B	B	B	C	A	C

二、填空题（每小题5分，共20分）

11．　　　　 12. 增区间：，减区间：　　

13. ，

14． 　

三、解答题（共80分）

15.（本小题10分）

解：设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c 。则b＝

因为，所以＝，……………………2分

所以，……………………4分

解得a²＝144……………………7分

所以椭圆的方程为：或………10分

16.（本小题满分14分）

解：,当得x=0或x=－1或x=－3；………………4分

∵0[－1，4]，－1[－1，4]，－3[－1，4]，………………8分

又f(0)=1，f(－1)=0；右端点处f(4)=1024+1280+320+1=2625；………………12分

∴函数在区间[－1，4]上的最大值为2625，最小值为0。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………………14分

17.(本小题14分)

解: 若命题p为真命题,则

　 …………………3分

　 若命题q为真命题,则

　 …………………7分

因为命题p和命题q有且只有一个为真

(1) 命题p 真, 命题q假,则……………10分

 (2)  命题p 假, 命题q真,则………………12分

由(1)(2)得m取值范围为…………………14分

18、(本小题14分)解：设小正方形的边长为xcm，盒子容积为y=f(x)；则

y=f(x)=(8－2x)(5－2x)x=4x³－26x²+40x　()；……………………4分

∵；当得；…8分

∵，又f(1)=18，f(0)= f()=0，　　  ……………12分

∴小正方形边长为1㎝时，盒子的容积最大，为18㎝³。…………14分

19.（本小题满分14分）

解：由

　  　　 …………………….2分

　　∴椭圆方程为，即　　…………….4分

　　将代入椭圆方程，得：

　　　整理为　 …….8分

　　不妨记　　 ……………9分

　　又 　 …….11分

　　由　得：　　　　 ………13分

　　∴所求的椭圆方程为　　　 ………..14分

20（本题14分）设双曲线：的焦点为F₁,F₂.离心率为2。

（1）求此双曲线渐近线L₁,L₂的方程；(5分)

（2）若A,B分别为L₁,L₂上的动点，且2,求线段AB中点M的

轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。(9分)

解：（1）由已知双曲线的离心率为2得：解得a²=1, ……………2分

所以双曲线的方程为

所以渐近线L₁,L₂的方程为和＝0……………5分

（2）c²＝a²＋b²＝4，得c＝2 ，所以，

又2所以=10　　 ……………3分

设A在L₁上，B在L₂上，设A（x₁ ，，B(x₂，－

所以即…………5分

设AB的中点M的坐标为（x，y），则x＝，y＝

所以x₁＋x₂＝2x ， x₁－x₂＝2y……………7分

所以整理得：……………8分

所以线段AB中点M的轨迹方程为：，轨迹是椭圆。………9分